Fiche n°16 : Graphe de fonctions élémentaires.
(Utilisation de Troisième niveau (1)/Les fonctions/Graphe dune fonction)
On représente des fonctions simples comme f(x)=x, f(x)=|x|, f(x)=x², f(x)= Ö (x), f(x)=(x)1/3, f(x)=1/x, f(x)=ent(x), f(x)=x-ent(x), f(x)=sin(x) ; f(x)=cos(x),
Pour éviter les traits parasites (pour f(x)=ent(x) par exemple) on choisit dans Repère le tracé Par points.
Si nécessaire, on complétera le graphique obtenu par des cercles pleins ou vides. Ainsi pour le graphe de f(x)=ent(x), on ajoutera des cercles pleins (a ; a) et des cercles vides (a ; a+1), a Î Z.
En faisant <Alt>+clic gauche, on verra limage par f dun point, et on pourrait déjà chercher limage par f dun segment, du domaine de définition, de valeurs de x de plus en plus grandes (petites) ou de plus en plus proches dun réel donné, ceci en vue de létude ultérieure des limites.
Au local, les élèves sexerceront à introduire dautres fonctions et se rendront compte de lexigence du choix dun repère adapté lorsque rien napparaîtra à lécran !
Par un choix convenable du repère ils tenteront de trouver le domaine de définition, les propriétés particulières, et si possible les racines, les coordonnées des extremums avec une précision convenable.
Exercices au local : Représenter graphiquement et étudier les fonctions suivantes :
Fiche n°17 : Les fonctions déduites de f.
(Utilisation de Troisième niveau (1)/Les fonctions/Fonctions déduites de f)
Voici une agréable manière de se familiariser avec les fonctions déduites dune fonction donnée.
On représente f(x), et on devine f(x-2). Avant de cliquer sur f(x+c), on marque quelques points de f(x-2) et on vérifie ensuite. On découvrira ainsi le rôle des différents coefficients, les points invariants de |f(x)|, de 1/f(x), , on devinera une première fois lexistence dasymptotes, etc.
On en tire les conclusions (déplacements latéraux, verticaux, parité, périodicité, etc.).
Exercices au local : (Voir aussi "Fonctions déduites de f")
Fiche n°18 : Les fonctions déduites de f et de g.
(Utilisation de Troisième niveau (1)/Les fonctions/Fonctions déduites de f et de g)
Soit le graphe de f(x)=x, et de g(x)=sin(x), on représente ensuite
f(x)+g(x), f(x)*g(x), f(x)/g(x), f(g(x)), g(f(x)), etc.
Avant dafficher la fonction déduite, il est instructif de prévoir et marquer
quelques points sûrs.
On tire ensuite les conclusions (points particuliers, asymptotes, racines, commutativité
ou non, etc.)
Exercices au local : Explorer les fonctions suivantes : (Voir aussi "Fonctions déduites de f et de g")
Fiche n°19 : Les limites, approche numérique.
(Utilisation de Troisième niveau (1)/Les fonctions/Limites en linfini et en un point)
f(3/2) nexiste pas, mais on peut calculer f(x) pour des valeurs de x proches de 3/2.
Dans Deuxième niveau/Valeurs numériques, on cherche les valeurs de f(x)
pour x variant de 1 à 2 par pas de 0.1 ;
puis pour x variant de 1.45 à 1.55 par pas de 0.01 ;
puis pour x variant de 1.495 à 1.505 par pas de 0.001 ;
etc.
On observe que pour des valeurs de x proches de 3/2, celles de f(x) sont proches de 3.
On a donc : | ![]() |
f(2) nexiste pas, mais on peut calculer f(x) pour des valeurs de x proches de 2.
Dans Deuxième niveau/Valeurs numériques, on cherche les valeurs de f(x)
pour x variant de 1.5 à 2.5 par pas de 0.1 ;
puis pour x variant de 1.95 à 2.05 par pas de 0.01 ;
puis pour x variant de 1.995 à 2.005 par pas de 0.001 ;
etc.
On observe que pour des valeurs de x proches de 2 et plus petites que 2, celles de f(x) tendent vers moins linfini, et que pour des valeurs de x proches de 2 et plus grandes que 2, celles de f(x) tendent vers plus linfini.
On a donc : | ![]() |
et | ![]() |
Exercices au local : Estimer la limite de :
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Fiche n°20 : Les limites, approche numérique et graphique
(Utilisation de Troisième niveau (1)/Les fonctions/Limites en linfini et en un point)
On sait que (Fiche 19) | ![]() |
Dans Les fonctions/Limites dune fonction, on illustre graphiquement ce résultat.
En outre on peut chercher la limite de f(x) quand x tend vers plus linfini, puis vers moins linfini.
Le graphe de f semble être celui de la fonction xà x+3/2, cependant f(3/2) nexiste pas.
Lordinateur ne fait pas tout, mais lutilisateur peut placer un cercle vide de coordonnée (3/2 ; 3) (<Shift>+clic gauche).
On peut encore se convaincre que si x tend vers 3/2 alors f(x) tend vers 3, en représentant les images de x quand x tend vers 3/2 (<Ctrl>+clic gauche).
De la même manière on observe numériquement et graphiquement que la limite de f(x) quand x tend vers plus linfini est plus linfini et que la limite de f(x) quand x tend vers moins linfini est moins linfini.
Comme précédemment, on interprète | ![]() |
avec a=2, +¥ et -¥ . |
Exercices au local :
Calculer et interpréter graphiquement les limites des fonctions de la fiche 19 en y ajoutant chaque fois la limite en +¥ et la limite en -¥ .
Sommaire(Utilisation de Troisième niveau (1)/Les fonctions/Limites en linfini et en un point)
Lélève a déjà la notion de la limite dune fonction en linfini et en un point qui nappartient pas nécessairement à son domaine de définition. (Fiche 20). Il a déjà intuitivement la notion dasymptote horizontale et dasymptote verticale au travers des graphes de f(x)=1/(x-2), f(x)=x/(x-2), f(x)=x²/(x-2), (Fiches 16 et 17).
Il est dès lors intéressant de les représenter de suite avant même dêtre capable de dessiner complètement la fonction après en avoir étudié les dérivées première et deuxième.
Dans Les fonctions/Limites dune fonction, on cherche la
limite de f(x) en 2, en 2, en linfini.
On obtient deux asymptotes verticales x=2 et x=-2 et une horizontale y=1 et on
représentera ces trois droites.
On cherche la limite de f(x) en 2 et en linfini, on trouve une asymptote verticale x=2 et on ne trouve pas dasymptote horizontale.
La limite de f(x)/x quand x tend vers linfini est 1 et celle de f(x)-1x quand x tend vers linfini est 2. On trouve donc une asymptote oblique y=x+2 et on représentera ces deux droites.
Exercices au local : Trouver et représenter toutes les asymptotes au graphe des fonctions f suivantes si :
Fiche n°22 : Les nombres dérivés.
(Utilisation de Troisième niveau (1)/Les fonctions/Limites en linfini et en un point)
Lobjectif est de montrer que la pente de la tangente en a au graphe dune fonction f est la limite de la pente de la sécante comprenant les points (a ; f(a)) et (x ; f(x)) lorsque ce deuxième point se rapproche du premier, cest à dire la limite de (f(x)-f(a))/(x-a) quand x tend vers a.
Dans Les fonctions/Limites dune fonction, on calcule
![]() |
En cliquant sur le bouton (f(x)-f(a))/(x-a) avec a=3/2 on peut penser que cette limite vaut 3.
Le nombre dérivé de f en 3/2 est égal à 3, ou f(3/2)=3, ou la pente de la tangente au point (3/2 ; 3) au graphe de f est donc 3.
Cette tangente a pour équation y-9/4=3(x-3/2) ou 12x-4y-9=0.
On représente cette droite et on vérifie quelle est effectivement tangente.
De la même manière, lélève peut calculer f(0), f(0.5), f(1), f(2), et représenter la tangente correspondante.
Semblablement, on calcule f(-1), f(1), f(2), et on représente la tangente correspondante.
Au point 0, on est amené à distinguer un nombre dérivé à gauche f(0-) et un nombre dérivé à droite f(0+) et donc à construire une tangente à gauche et une tangente à droite au point 0.
Exercices au local :
Fiche n°23 : Fonction dérivée première.
(Utilisation de Troisième niveau (1)/Les fonctions/Graphe dune fonction)
Lélève a compris la signification du nombre dérivé en un point et a assez dinformations pour construire la fonction dérivée première f. (Fiche 22).
On représente graphiquement une fonction, par exemple : f(x)=(3x4-20x3+36x²-12)/12.
On représente la tangente en 1, en choisissant a=1 et en cliquant ensuite sur Tangente.
Léquation de la tangente apparaît, on détermine mentalement sa pente cest
à dire f'(1).
En cliquant sur Pente, on vérifie la valeur de la pente trouvée et le segment
dextrémités
(1 ; f(1)) et (1 ; f(1)) est automatiquement représenté. Le point
(1 ; f(1)) appartient au graphe de f.
On recommence en dautres points et on obtient une suite de points
du graphe de la fonction dérivée f.
On peut obtenir plus rapidement de tels points en cliquant sur le bouton f à f.
Le graphe de f apparaîtra enfin en cliquant sur f(x)
et on vérifie quil comprend bien les points déjà trouvés.
Ce sera le moment de découvrir les messages de la dérivée première (croissance,
décroissance, extremums
)
Exercices au local :
Fiche n°24 : Fonction dérivée seconde.
(Utilisation de Troisième niveau (1)/Les fonctions/Graphe dune fonction)
Lélève sait deviner f à partir de f et inversement (cf.
Fiche 23).
Le professeur pourra laider à trouver f à partir de f et à
découvrir le message de f.
On reprend par exemple le graphe de f(x)=(3x4-20x³+36x²-12)/12.
On représente f, on devine f puis on la représente.
On vérifiera le message de la dérivée seconde (concavité).
Les professeurs qui aiment faire trouver une fonction f dont on ne connaît que f apprécieront lapport de linformatique et songeront peut-être même à trouver une intégrale indéfinie de f !
Le programme permet dailleurs de représenter lintégrale de a à x de f(x) dx pour un a choisi, et on en profitera pour montrer quil y a autant de solutions que de valeurs de a.
SommaireFiche n°25 : Approximations des racines.
Lordinateur va permettre des représentations graphiques précises quil serait trop long et
fastidieux de faire à la main, et qui illustreront on ne peut mieux la méthode dapproximation choisie.
Remarquons que si le membre de gauche de léquation f(x)=0 est un polynôme de degré £ 4, il est plus simple de le factoriser (Utilisation de Deuxième niveau/Les polynômes/Polynômes dans C (degré £ 4)), mais il restera de toute façon instructif demployer une méthode dapproximation et de vérifier la solution obtenue.
A) (Utilisation de Troisième niveau (1)/Les fonctions/Approximation des racines)
Lintérêt essentiel sera de comparer les différentes méthodes, de voir les pièges à éviter et les limites de chaque méthode.
Exercices au local sous la conduite du professeur : (cf. aussi pages 32 et 33)
Résoudre les équations suivantes et comparer les performances des méthodes utilisées.
B) (Utilisation de Troisième niveau (1)/Les fonctions/Point fixe)
Lintérêt essentiel sera de découvrir les conditions de convergence et les différentes vitesses de convergence selon le choix de g(x) dans la transformation de f(x)=0 en g(x)=x.
Exercices au local sous la conduite du professeur : (cf. aussi page 33)
Soit x0 laffichage initial. Par exemple x0=0.
On affiche donc successivement 1 ; 0.540302 ; 0.857773 ; 0.654289 ; 0.793480 ,
cest à dire cos x0, cos(cos x0), cos(cos(cos x0)), et on observe que cette suite converge vers s=0.739085 .
Plus généralement, si g(x)=cos(x), on affiche successivement g(x0), g(g(x0)), g(g(g(x0))), ou encore s1, s2, s3, avec s1=g(x0), s2=g(g(x0))=g(s1), s3=g(g(g(x0)))=g(g(s1))=g(s2), ou plus simplement s1=g(x0), s2=g(s1), s3=g(s2), , sn+1=g(sn), .
En reportant ces résultats sur un graphique, on découvre que la suite (sn) converge vers la racine s de léquation cos x=x.
Ainsi donc, 0.739085 est racine de cos x=x et on a trouvé x0 tel que la suite cos x0, cos(cos x0), cos(cos(cos x0)), converge vers 0.739085 .
Plus généralement : Si s est racine de léquation g(x)=x, il arrive quon trouve x0 tel que la suite s1, s2, s3, où s1=g(x0) et sn+1=g(sn) converge vers s. Le point (s ; g(s)) est le point fixe.
On peut encore se poser la question de savoir quels sont les x0 pour lesquels la suite s1, s2, s3, converge.
Il suffit pour cela de représenter le graphe de g(g( x)) (m fois) pour un m assez grand. Lensemble des valeurs de x pour lesquels g(g( x)) se stabilise sur s constitue lensemble des x0 possibles.
Si g(x)=cos x, en cliquant sur g(g( x)) (m fois) avec m=10, on devine que lensemble des x0 est R .
Soit f(x)=x³+2x-2.
On songera tout dabord à factoriser f(x). (voir règle de Horner).
Puisque le degré est £ 4 on peut utiliser Polynômes dans
C (degré £ 4).
On peut toujours essayer une des méthodes dans Approximation des racines.
Enfin il est instructif dutiliser la méthode du Point fixe.
Léquation f(x)=0 doit donc être écrite sous la forme g(x)=x et cela peut être réalisé de plusieurs manières. Sil y a convergence, il sera intéressant de comparer la vitesse de convergence selon le choix de g(x).
- En écrivant x³+3x-2=x il y a divergence.
- En écrivant 1-x³/2=x la convergence est très lente.
- En écrivant 2/(x²+2)=x la convergence est plus rapide.
- En remarquant que léquation f(x)=0 peut se mettre sous la forme x-f(x)/f(x)=x, on choisit g(x)=x-f(x)/f(x) et léquation devient (2x³+2)/(3x²+2)=x. On démontre qualors la convergence est la plus rapide, et on le vérifie.
Dans la suite, on privilégiera donc lécriture x-f(x)/f(x)=x.
Tenant compte de la remarque précédente, en écrivant léquation x²-3=0 sous la forme (x+3/x)/2=x on obtiendra une suite de réels qui converge vers Ö 3 le plus rapidement.
Les racines sont évidemment celles de x²+2x-1=0 cest à dire
1+Ö 2 et 1-Ö 2.
Ici cest linterprétation qui retient lattention.
Soit g(x)=1/(2+x) et x0=2.
La suite s1, s2, s3, devient 0.25 ; 0.444 ; 0.40909 et converge vers 1+Ö 2 = 0.41421356
Cela revient à dire que
![]() |
ou encore : | ![]() |
Remarque :La fraction continue représentant Ö 2 est notée (1,2,2,2, )
Justifier lécriture | ![]() |
On soupçonne cette expression de provenir de g(x)=Ö
(2+x)
En effet la solution de Ö (2+x)=x est 2 et pour x0=0
la suite engendrée s1, s2, s3,
est
1.41421
; 1.84775
; 1.96157
et converge bien vers 2
Semblablement, justifier lécriture : | ![]() |
Soit g(x)=0.6x. La solution de 0.6x=x est 0.699534 et pour x0=0 la suite engendrée s1, s2, s3, est 1 ; 0.6 ; 0.736021 ; 0..686616 ; 0.704165 et converge bien vers 0.699534
Lordinateur va se comporter ici comme outil de recherche, permettant peu à peu de cerner la question et davancer en confiance.
Dans Troisième niveau (1)/Fonctions à paramètre/Une ou deux fonctions à paramètre m , on définit f(x)=mx et la droite º y=x. En faisant varier m de 0.1 à 2 par pas de 0.1 on observe quà partir de m=1.5 les deux courbes nont plus de point commun.
Il existe donc mÎ ]1.4 ; 1.5[ tel que la droite est tangente à la courbe. Puisque la pente de cette tangente en x à la courbe vaut 1 on a (mx)=1. Dès lors m et x sont solutions du système formé par les équations (mx)=1 et mx=x. La solution est x=e et m=e1/e=1.444667 qui est bien Î ]1.4 ; 1.5[.
Finalement léquation mx=x aura au moins une solution ssi mÎ ]0 ; 1.444667 ].
On devra donc résoudre léquation -ce-c=1 ou -xe-x=1. Soit c solution de ex=x obtenue par la méthode du point fixe. On trouve c=-0.56714 , et on pourra vérifier graphiquement dans Les fonctions/Graphe dune fonction, que la tangente en 0.56714 à f(x)=(x+1)e-x est bien parallèle à la droite comprenant les points (-1,0) et (0,1).
Calculer c pour | ![]() |
Résolvons donc léquation e-0.5=c+ec, ou e-0.5=x+ex.
En écrivant cette dernière sous la forme e-0.5-ex=x il y a divergence, mais sous la forme ln(e-0.5-x)=x, on trouve c=0.52604 .
On pourrait dailleurs vérifier le résultat en évaluant les deux membres de :
avec f(x) = x+ex et c=0.52604
Sommaire