O. Statistique
1. Statistique à caractère discretCommencez par introduire les données, soit en chargeant un fichier déjà constitué, soit en créant un tel fichier, soit en utilisant les données obtenues par simulation d'un des problèmes de probabilité (lancer de p pièces, de p dés, somme des points de 2 dés, de 3 dés, tirages des lettres dun mot, boules rouges et boules vertes).
Vous pouvez aussi introduire des données aléatoires, dont le seul intérêt est de découvrir vite et facilement le programme ou ... de tester la qualité du générateur de nombres aléatoires !
A tout moment, vous pourrez corriger une donnée, en ajouter, en supprimer, sauver les données d'un tableau brut ou recensé. Un tableau brut *.sdb pourra être chargé dans Statistique à caractère groupé.
Vous pourrez ensuite afficher le tableau brut, le tableau ordonné, le tableau recensé, le tableau des paramètres, le tableau des calculs, afficher le diagramme en bâtons des effectifs (des fréquences), et si la question a un sens, superposer la loi binomiale, de Poisson, de Gauss (loi normale), de Fisher-Student, de Pearson (du Chi-deux), de Fisher-Snedecor, et comparer le diagramme en bâtons à une de ces lois, ensuite afficher le polygone des effectifs (des fréquences) cumulés et enfin les quartiles.
Les représentations graphiques sont réalisées sobrement, comme dans les manuels, pour être plus proches de celles que l'on exigera de l'élève.
Exemples :
2. Statistique à caractère groupé.
Comme dans le cas précédent, mais avec formation de classes et possibilité d'en modifier le nombre et les intervalles.
On pourra ouvrir le fichier dun tableau brut *.sdb préalablement enregistré dans Statistique à caractère discret et former des classes.
Exemple :
On a relevé les tailles de 86 jeunes de 18 ans. Former les tableaux,
ordonné, recensé, ( 9 classes ), des paramètres et représenter les diagrammes.
( Les 86 tailles sont sauvées dans le fichier TAILLE18.SGB ).
3. Statistique à deux caractères.
Chargez ou créez un fichier de données. Les points du nuage du diagramme sont les centres de cercles dont le rayon est proportionnel à l'effectif de ces points.Exemples :
On a relevé l'âge et la taille de 86 jeunes de 14 à 18 ans, pour découvrir une
éventuelle corrélation. Ces résultats sont contenus dans le fichier 'AGETAIL.ST2'.
Trouver les droites de régression et faire le diagramme.
Exemple.
Six résultats d'une expérience de laboratoire sont consignés dans le
fichier 'TEST.SMC'.
Peut-on raisonnablement penser que les six points obtenus sont alignés ?
Exercices :
Equations paramétriques de a : x=r+2 ; y=-2r-3 ; z=r
Equations cartésiennes de b : -x+2y-3z+4=0 ; 4x-3y+2z-1=0.
Equations paramétriques de c : x=2r-8 ; y=-r+3 ; z=r
Equations cartésiennes de a º 2x+y-1=0 ; x-z-2=0.
Equations cartésiennes de b º -x+2y-3z+4=0 ;
4x-3y+2z-1=0.
A partir des coordonnées paramétriques des points A, B et C, le programme représente le graphe de la courbe décrite par le point A ou B ou C, la surface engendrée par le segment ou la droite AB ou AC ou BC, ou le triangle ABC.
Exemples :
x=cos(t), y=sin(t), z=t/2/p
Un point P de la surface a pour coordonnée paramétrique :
( m , t , f1(m,t) ) ou
( m , f2(m,t) , t ) ou
(f3(m,t) , m , t ) ou
(f4(m,t), f5(m,t), f6(m,t) ).
Dans les trois premiers cas, on pourra choisir loption En fil de fer ou En vu et caché.
Pour représenter la surface, on choisira :
Exemples :
Remarque : on peut aussi choisir les coordonnées
paramétriques :
x=cos(m) sin(t), y=sin(m) sin(t), z=cos(t).
avec f4(m,t)=cos(m) sin(t), f5(m, t)=sin(m) sin(t), f6(m,
t)=cos(t).
( Choisir par exemple les points (m, t, f1(m, t) ), avec f1(m,t)=cos(m)+sin(t)
Exemples :
Représenter graphiquement le solide engendré par ce trapèze dans sa rotation autour de l'axe Oy.
Les fractales naturelles font intervenir le hasard.
On représentera une montagne fractale, et des fractales obtenues par la méthode IFS
(Iterated Functions System).
Pour un choix convenable des matrices on représentera une fougère et il sera possible de
rechercher dautres matrices et ainsi de créer dautres fractales.
Mais de quoi sagit-il ?
Orbite dun point P1.
Dans le programme Suites et séries on a représenté des points Pn de coordonnée (n ; u(n+p) ) (avec p £ 9).
Représentons maintenant des points de coordonnée (x(n+p) ; y(n+p)) (avec p £ 9).où x(n+p) et y(n+p) sont des fonctions de x(n+k) et y(n+k) avec k<p.
Si p³ 1, les coordonnées dépendent (explicitement ou non) de x(1) et de y(1).
Soit par exemple : x(n+1)=x²(n)-y²(n)+x(1)+0.6 et y(n+1)=2 x(n) y(n)+y(1)-0.9
On a donc :
P1 ( x(1) ; y(1) )
P2 ( x(2) ; y(2) ) où x(2)=x²(1)-y²(1)+x(1)+0.6 et y(2)=2x(1)y(1)+y(1)-0.9
P3 ( x(3) ; y(3) ) où x(3)=x²(2)-y²(2)+x(1)+0.6 et y(3)=2x(2)y(2)+y(1)-0.9
.
Pn+1 ( x(n+1) ; y(n+1) ) où x(n+1)=x²(n)-y²(n)+x(1)+0.6 et y(n+1)=2x(n)y(n)+y(1)-0.9
Par définition, l'orbite de P1 (x(1), y(1)) est l'ensemble des points P1, P2, P3, ,Pn+1, .
Dans Ensemble de votre choix, cliquez sur Définir pour encoder x(n+1) et y(n+1), puis sur Orbite pour observer que lorbite de P1(-0.5 ; 0.4 ) ne tend pas à rejoindre l'infini, et que celle de P1( -0.11 ; 0.34 ) tend à rejoindre l'infini.
La représentation de ces orbites sera plus claire en convenant de relier chaque point par un segment de droite. (Voir Options).
Si l'orbite d'un point tend à rejoindre l'infini, son abscisse ou son ordonnée en valeur absolue finira par dépasser un réel V. On pourra choisir ce réel ainsi que le nombre maximum de points de lorbite à calculer dans Options.
Ensemble de Mandelbrot
Soit x(n+1)=x²(n)-y²(n)+x(1) et y(n+1)=2x(n)y(n)+y(1)
On pourra vérifier que lorbite de P1( 0.3 ; 0.1
) ne tend pas à rejoindre l'infini, et celle de P1( 0.4 ; 0.4 ) tend à
rejoindre l'infini. Si l'orbite de P1 ne tend pas à rejoindre l'infini, alors
P1 est élément de lensemble M de Mandelbrot et représenté en couleur.
Le point P1( 0.3 ; 0.1 ) est donc dans M, le point P1(
0.4 ; 0.4 ) ny est pas.
On cherchera donc tous les points P1 (x(1),y(1)) éléments de M lorsque P1 balaye le rectangle de l'écran, de bas en haut et de gauche à droite.
Il suffira de cliquer sur le bouton Graphe du cadre Ensemble de Mandelbrot.
Pour observer une structure plus fine, choisissez par exemple
dans Repère, Repère de lutilisateur, ensuite -0.2 £ x £ -0.15, 1 £ y £ 1.15,
dans Options N=14, V=100
dans Couleurs n1=7, n2=9, n3=11, n4=13, d1=0.00005, d2=0.01, d3=0.2,
puis cliquez à nouveau sur Graphe.
Remarques :
Ensemble de Julia
Soit x(n+1)=x²(n)-y²(n)+a et y(n+1)=2x(n)y(n)+b
Pour a = 0.3 et b = 0.2, on vérifiera que lorbite de P1( 0.4 ; 0.5 ) ne tend pas à rejoindre l'infini, et que celle de P1( 0.505 ; 0.745 ) tend à rejoindre l'infini. Si l'orbite de P1 ne tend pas à rejoindre l'infini, alors P1 est élément de lensemble J de Julia et représenté en couleur.
Le point P1( 0.4 ; 0.5 ) est donc dans J, le point P1( 0.505 ; 0.745 ) ny est pas.
On cherchera donc tous les points P1 (x(1),y(1)) éléments de J lorsque P1 balaye le rectangle de l'écran, de bas en haut et de gauche à droite.
Lensemble de Julia correspond aux valeurs a=-1 et b=0. Cliquez sur Graphe pour lobtenir.
Pour observer une structure plus fine, choisissez par exemple :
puis cliquez à nouveau sur Graphe.
Remarques :
Courbe de Julia
Si z(1) est dans l'ensemble de Julia J, alors z(2),z(3),...,z(n) le
sont aussi.
Soit z'(p)=z(n+1), z'(p+1)=z(n), z'(p+2)=z(n-1), ... .
La relation z(n+1)=z²(n)+c devient z'(p)=z'²(p+1)+c ou encore z²(n+1)=z(n)-c.
Dans ce cas :
x(n+1)=±s Ö
( ( r(n) + x(n)-a )/2 )
y(n+1)=±s Ö ( ( r(n) - x(n)+a
)/2 )
avec
r(n)= Ö ( (
x(n)-a )² + ( y(n)-b )² )
s=1 si y(n)-b³ 0
s=-1 si y(n)-b<0
Choisissez par exemple : x(1)=1 et y(1)=1 et ensuite a=-1 et b=0
Pour a=0 et b=0, la courbe de Julia est un cercle.
Pour a=-2 et b=0, la courbe de Julia est un segment.
Ensemble de votre choix
Reprenons les deux formules de récurrence utilisées plus haut :
x(n+1)=x²(n)-y²(n)+x(1)+0.6
y(n+1)=2x(n)y(n)+y(1)-0.9
et donc les points P1 ( x(1) ; y(1) ), P2 ( x(2) ; y(2) ), ... , Pn (x(n) ; y(n) ).
On sait que lorbite de P1(-0.5 ; 0.4 ) ne tend pas à rejoindre l'infini, et que celle de P1( -0.11 ; 0.34 ) tend à rejoindre l'infini.
Si l'orbite de P1 ne tend pas à rejoindre l'infini, alors P1
est élément de lensemble fractal F de votre choix et représenté en couleur.
On cherchera donc tous les points P1 (x(1),y(1)) éléments de F lorsque P1
balaye le rectangle de l'écran, de bas en haut et de gauche à droite.
Remarques :
Couleurs de lensemble Fractal
Les points de la fractale sont représentés en rouge, vert, jaune, bleu clair selon que la distance des deux derniers points calculés de l'orbite est inférieure respectivement à d1, d2, d3 ( d1<d2<d3 ) ou supérieure à d3.
Les points situés en dehors de la fractale, sont représentés en gris jaune, vert, rouge ou fushia, selon que le numéro du dernier point calculé de l'orbite, dont l'abscisse ou l'ordonnée dépasse en valeur absolue le réel V, est inférieur respectivement à n1, n2, n3 et n4 ( n1<n2<n3<n4 ) ou supérieur à n4.
Les réels d1, d2, d3, n1, n2, n3, n4 seront choisis dans Couleurs.
Exemples :
x(n+1) = 1.1x²(n) - 0.9y²(n) + 0.3 et y(n+1) = 2.3x(n)y(n) + 0.1
On représentera en repère orthonormé les 6 premiers points de la
suite définie par :
x(n)=1+cos(n*144/180*p ) et y(n)=2+sin(n*144/180*p )
x(n+2)=2y(n+1)-3x(n+1)-x(n)+2y(n)+1 et y(n+2)=x(n+1)-2y(n)-1
avec ( x(1) , y(1) )=( -2 ; -5 ) et ( x(2) , y(2) )=( -2 ; 4)
Ensemble fractal et point fixe
Soit l'équation g(x) = x et le point P1 ( x(1), y(1) ), avec x(1) = x1 et y(1) = 0.
La suite des points P1, P2, ... , Pn ( x(n), y(n) ), obtenue en résolvant cette équation par la méthode du point fixe, forme l'orbite (en escalier ou en toile d'araignée) du point initial (x1,0).
On a successivement :
P1: x(1) = x1 et y(1) = 0
P2: x(2) = x(1) et y(2) = g( x(1) )
P3: x(3) = y(2) et y(3) = y(2)
P4: x(4) = x(3) et y(4) = g( x(3) )
P5: x(5) = y(4) et y(5) = y(4)
P6: x(6) = x(5) et y(6) = g( x(5) )
.
Pn+1:
x(n+1) = ( 1-(-1)n )/ 2 * x(n) + (
1-(-1)n+1 ) / 2 * y(n)
y(n+1) = ( 1-(-1)n )/ 2 * g( x(n) )
+ ( 1-(-1)n+1 ) / 2 * y(n)
Exemple :
Pour g(x) = 2.72 * x * (1-x), on a :
x(n+1) = ( 1-(-1)n )/ 2 * x(n) + ( 1-(-1)n+1 ) /
2 * y(n) (1)
y(n+1) = ( 1-(-1)n )/ 2 * 2.72 * x(n) * ( 1-x(n) ) + ( 1-(-1)n+1 ) /
2 * y(n) (2)
Avec les conventions de couleurs utilisées dans les ensembles fractals, on peut colorier les points ( x(1), 0 ) de l'axe Ox, selon que l'orbite du point tend ou non à rejoindre l'infini.
Après avoir défini les formules de récurrences x(n+1) et y(n+1) telles que (1) et (2), cliquez sur graphe et choisissez l'option : P1 ( x(1), 0 ). (V=100000, N=25, -1.5 £ x £ 2.5).
On verra apparaître au dessus de l'axe Ox une bande coloriée, censée représenter l'axe Ox fortement épaissi, et on vérifiera que lensemble des abscisses des points de départ (x1,0) donnant lieu à une solution est bien comprise strictement entre 0 et 1, cest à dire dans la bande rouge bordée des bandes fushias..
Sommaire R. Quatre jeux.Jeu de la découverte d'un nombre choisi entre deux bornes, par l'ordinateur ou l'utilisateur à l'aide de questions et réponses. Ce jeu constitue une excellente initiation à la dichotomie. Possibilité de modifier les bornes et daccepter ou non de laide.
SommaireLe Jeu est constitué de trois axes verticaux. Laxe de gauche comporte une pile de n disques de tailles décroissantes de bas en haut. Le jeu consiste à transférer les disques de cet axe sur laxe de droite en observant les règles suivantes : il est interdit de placer un disque de taille supérieure sur un disque de taille inférieure, le nombre de déplacements doit être minimum, laxe du milieu est un axe auxiliaire qui sert à empiler temporairement les disques.
Lutilisateur pourra observer comment procède lordinateur, puis tenter sil le peut de faire mieux.
On démontre que pour n disques, il faut 2n-1 déplacements.
SommaireDun tas de n allumettes, on en prend au moins une et au plus p. Le joueur qui
prend les dernières allumettes a gagné.
Deux options possibles : lordinateur joue le premier ou lutilisateur.
Quelle est la stratégie à adopter pour gagner ?
Est-elle fonction de n et/ou de p ?
Choisissez un des trois niveaux de difficulté, puis cliquez sur Question
ou encodez le nombre de votre choix.
Cherchez votre solution, mémorisez-la ou écrivez-la si nécessaire.
En cliquant sur Une solution, lordinateur vous donnera la sienne, souvent
très inattendue.
Sil nen trouve pas, il cherchera une solution pour un nombre aussi proche que
possible du nombre imposé, et indiquera au fur et à mesure les nombres pour lesquels il
a échoué.