Fiche n°32 : Systèmes déquations linéaires.
(Utilisation de Troisième niveau (1)/Systèmes déquations/Systèmes de n équations à p inconnues).
Ce programme résout les systèmes de 1 à 8 équations linéaires à 1 à 8 inconnues.
En particulier, linterprétation graphique des systèmes de 1 à 3 équations à 2 inconnues ou de 1 à 3 équations à 3 inconnues est réalisée respectivement dans Systèmes déquations/Systèmes de n éq. à 2 inconnues à paramètre et Systèmes déquations/Systèmes de n éq. à 3 inconnues à paramètre. Dans ces deux programmes, lorsque les systèmes ne contiennent pas de paramètre, il suffit de le faire varier fictivement par exemple de 0 à 1 par pas de 2 pour noccasionner quun seul calcul et affichage ou plus simplement encore de choisir t fixé.
Cette fiche certainement est trop longue pour être exposée en une séance. Elle a le mérite de proposer plusieurs manières différentes de regarder des systèmes et dinterpréter les solutions. Au professeur de choisir judicieusement laspect quil veut privilégier.
Dans Troisième niveau (1)/Systèmes déquations/Systèmes de n équations à p inconnues, on résout :
2x+3y=6
2x-3y=0
et on trouve : x1=1.5 et x2=1.
On interprète graphiquement cette solution :
- Dans Deuxième niveau/Premier degré/Droite d º ax+by+c=0/Voir/Intersection des droites d1 et d2
- Dans Troisième niveau (1)/Systèmes déquations/Systèmes de n éq. à 2 inconnues à paramètre.
Evidemment ici on sous utilise le programme puisquil ny a pas de paramètre, et comme indiqué plus haut on fera varier ce paramètre par exemple de 0 à 1 par pas de 2 pour ne provoquer quun seul affichage, ou plus simplement on choisira t fixé.
Dans Troisième niveau (1)/Systèmes déquations/Systèmes de n équations à p inconnues, on résout :
4x+6y+2z=1
y+z=0
2x+y+z=2
et on trouve : x1=1, x2=-3/4 et x3=3/4.
On interprète graphiquement la solution :
- Dans Troisième niveau (2)/Droites et plans on encode les plans P, Q et R, et on clique ensuite sur Voir/Intersection de trois plans P, Q et R
- Dans Troisième niveau (1)/Systèmes déquations/Systèmes de n éq. à 3 inconnues à paramètre.
Ici encore on sous utilise le programme, on fera varier t par exemple de 0 à 1 par pas de 2 ou on choisira t fixé.
Dans Troisième niveau (1)/Systèmes déquations/Systèmes
de n équations à p inconnues, on résout :
2x+3y=6 et on trouve : x1=-1.5a+3 et x2=a.
On interprète graphiquement la solution :
- Dans Troisième niveau (1)/Systèmes déquations/Systèmes de n éq. à 2 inconnues à paramètre, en encodant léquation 2x+3y=6, on représente la droite et on trouve la solution : x=-1.5r+3 et y=r.
Encodons maintenant les deux équations : 1x+0y=-1.5t+3 et 0x+1y=t et affichons la solution. On verra mieux que les points de la droite 2x+3y=6 sont les points dintersection des génératrices x=-1.5t+3 et y=t.- Dans Troisième niveau (1)/Coordonnées paramétriques, en encodant x(t)=-1.5t+3 et y(t)=t, on verra que (-1.5t+3 ; t) est bien la coordonnée paramétrique dun point quelconque de la droite.
- Dans Deuxième niveau/Premier degré/Droite d º ax+by+c=0, on encode d1 puis on clique sur d1. On trouve alors dautres équations paramétriques de d1 : x=-3r et y=2r+2, mais qui représentent la même droite bien sûr.
Dans Troisième niveau (1)/Systèmes déquations/Systèmes de n équations à p inconnues, on résout : 4x+6y+2z=1 et on trouve : x1=-1.5a-0.5b+0.25, x2=a, x3=b.
On interprète graphiquement la solution :
- Dans Troisième niveau (1)/Systèmes déquations/Systèmes de n éq. à 3 inconnues à paramètre en encodant léquation : 4x+6y+2z=1, on représente le plan et on trouve la solution : x=-1.5r-0.5s+0.25, y=r et z=s.
Dans Troisième niveau (2)/Géométrie dans lespace/Surfaces dans lespace, on choisit (f3(m,t),m,t) avec f3(m,t)=-1.5m-0.5t+0.25. En cliquant maintenant sur Graphe : m fixé, t varie puis sur Graphe : t fixé, m varie, on retrouve bien le plan.
- Dans Troisième niveau (2)/Droites et plans, on définit Pº 4x+6y+2z=1, on le représente en cliquant sur P et on lit des équations paramétriques de P : x=-1.5r-0.5s+0.25, y=r et z=s.
Dans Troisième niveau (1)/Systèmes déquations/Systèmes de n équations à p inconnues, on résout
2x+3y=6
2x-3y=0
2x-y=2et on trouve : x1=1.5 et x2=1.
On peut encore interpréter graphiquement cette solution dans Troisième niveau (1)/Systèmes déquations/Systèmes de n éq. à 2 inconnues à paramètre, en encodant les trois droites et en observant quelles concourent bien au point (1.5 ; 1).
Dans Troisième niveau (1)/Systèmes déquations/Systèmes de n équations à p inconnues, on résout
4x+6y+2z=1
y+z=0
et on trouve : x1=a+0.25, x2=-a, x3=a.
- Dans Troisième niveau (1)/Systèmes déquations/Systèmes de n éq. à 3 inconnues à paramètre en encodant les équations : 4x+6y+2z=1 et y+z=0 on représente la droite et on trouve la solution : x=a+0.25, y=-a et z=a.
Encodons maintenant les trois équations : 1x+0y+0z=t+0.25, 0x+1y+0z=-t et 0x+0y+1z=t et affichons la solution. On verra mieux que les points de la droite sont les points dintersection des trois plans générateurs x=-1.5t+3, y=-t et z=t.- Dans Troisième niveau (2)/Géométrie dans lespace/Courbes et surfaces réglées, on donne au point A la coordonnée (t+0.25, -t, t) et en cliquant sur Graphe on retrouve la droite.
- Dans Troisième niveau (2)/Droites et plans, on définit Pº 4x+6y+2z=1 et Qº y+z=0. On peut représenter séparément P et Q en cliquant sur P puis sur Q, puis la droite en cliquant sur a=PÇ Q. On lira alors des équations paramétriques de a : x=r+0.25, y=-r et z=r.
Dans Troisième niveau (1)/Systèmes déquations/Systèmes de n équations à p inconnues, on résout :
4x+6y+2z=1
y+z=0
2x+y+z=2
4x-3y+2z=1
et on trouve : S=Æ
Interprétations possibles :
- Les 4 plans nont aucun point commun.
- La droite déterminée par les deux premières équations et la droite déterminée par les deux dernières équations sont parallèles distinctes ou gauches. (on peut vérifier ici quelles sont gauches, puisque un vecteur directeur de lune nest pas multiple dun vecteur directeur de lautre)
- Le point commun (1,-3/4,3/4) aux trois premiers plans nappartient pas au plan quatrième.
Fiche n°33 : Systèmes linéaires à 2 inconnues avec paramètre.
(Utilisation de Troisième niveau (1)/Systèmes déquations/Systèmes de n éq. à 2 inconnues à paramètre)
En classe on a résolu le système :
(t²-9)x+(2t-6)y=3-t
(t+3)x+(t-3)y=t
et trouvé la solution :
tÎ R\{-3 ; 3 ; 5}Þ S={ ( 3 (1-t)/ ( (t+3) (t-5) ) ; (t+1) / (t-5) ) }
tÎ {-3 ; 5}Þ S=Æ
t=3Þ S={(0.5 ; r)Î R²
| rÎ R}
Interprétons graphiquement cette solution.
A chaque valeur du paramètre t, correspondent deux droites. Lorsque t varie de a à b par pas de p, par série de 1 à 10 valeurs, on affiche ces droites, leur point dintersection, et la solution correspondante du système.
On préférera afficher les graphiques et résultats pour une valeur de t à la fois pour mieux observer et comprendre le lien entre graphique et résultat.
On peut aussi afficher les droites de manière continue toutes les valeurs de t et produire ainsi un Film racontant lhistoire du système.
Il est également possible de ne représenter que les points dintersection. (Voir Options). Ceux-ci apparaissent alors comme le lieu géométrique engendré par les génératrices dont les équations sont celles du système.
Dans le cas présent on trouve aisément en éliminant t que le lieu brut L est la conique Lº 8xy+2y²-2x-y-1=0 et on le vérifiera en représentant cette conique dans Troisième niveau (1)/Coniques/Graphe et éléments.
Exercices au local : (cf. aussi page 48)
(t²-9)x+(2t-6)y=3-t
(t+3)x+(t-3)y=t
2tx-ty=t+1
et en particulier trouver une valeur de t pour que les trois droites soient concourantes.
Fiche n°34 : Systèmes linéaires à 3 inconnues avec paramètre.
(Utilisation de Troisième niveau (1)/Systèmes déquations/Systèmes de n éq. à 3 inconnues à paramètre)
En classe on a résolu le système :
tx+(t+2)y+2z=1 (1)
(t+2)y+(t+2)z=0 (2)
2x+y+(t-3)z=2 (3)
et trouvé la solution :
tÎ R\{-2 ; 0 ; 2}Þ S={ (3t-4) / (t (t-2) ) ; 2 (1-t) / (t(t-2) ) ; 2(t-1) /
(t(t-2) ) }
tÎ {0 ; 2}Þ S=Æ
t=-2Þ S={(r-0.5 ; 3r+3 ; r)Î
R³ | rÎ R}
Interprétons graphiquement cette solution.
A chaque valeur du paramètre t, correspondent trois plans. Lorsque t varie de a à b par pas de p, par série de 1 à 10 valeurs, on affiche ces plans, leurs points dintersection, et la solution correspondante du système.
On préférera afficher les graphiques et résultats pour une valeur de t à la fois pour mieux observer et comprendre le lien entre graphique et résultat.
On peut aussi afficher les plans de manière continue pour toutes les valeurs de t et produire ainsi un Film racontant lhistoire du système.
On peut rechercher le lieu géométrique L du point commun aux trois plans en éliminant t entre les trois équations des plans. Ce lieu brut L est lintersection de la surface º -2x²-y²+2z²-3xy+3xz+5yz+2x+2y-z=0 avec le plan º y+z=0, ou mieux lintersection de la surface º -2x²-4y²-6xy+2x+3y=0 avec le plan º y+z=0.
Des équations paramétriques de L sont encore :
x=(1+3t± Ö
(1+t²)) / 2
y=-t
z=t
et on vérifiera ce lieu en le représentant dans Troisième niveau (2)/Géométrie dans lespace/Courbes et surfaces réglées.
On donne au point A la coordonnée ( (1+3t+Ö (1+t²)) / 2 ; -t ; t ) et on clique sur Graphe, puis on donne au point A la coordonnée ( (1+3t-Ö (1+t²)) / 2 ; -t ; t ) et on clique à nouveau sur Graphe.
Mieux, on donne au point A la coordonnée ( (1+3t+Ö (1+t²)) / 2 ; -t ; t ) et au point B la coordonnée ( (1+3t-Ö (1+t²)) / 2 ; -t ; t ), on sélectionne Segment AB et on clique sur Graphe. Les segments AB sont dans le plan º y+z=0 et les extrémités de ce segment décrivent bien le lieu brut L recherché.
Il est évident que les équations fournies par la solution ci dessus :
x= (3t-4) / (t(t-2) )
y= 2(1-t) / (t(t-2) )
z= 2(t-1) / (t(t-2) )
sont dautres équations paramétriques équivalentes de L et pourront être interprétées comme les précédentes.
Exercices au local : (voir aussi "Système de 1 à 3 éq. à 3 inc. avec param.")
tx+(t+2)y+2z=1 (1)
(t+2)y+(t+2)z=0 (2)
(Utilisation de Troisième niveau (1)/Trigonométrie)
Lobjectif principal du programme Nombres trigonométriques est dancrer la signification géométrique des N.T. des angles, et des N.T. inverses.
Les autres programmes seront les bienvenus pour corriger des devoirs ou travaux, et en inventer dautres.
Les résolutions déquations et inéquations simples ont le mérite de montrer sur un même écran la fonction correspondante, la solution et linterprétation sur un cercle trigonométrique. Lélève pourra ainsi mieux voir les liens entre graphiques et résultats. En offrant ces possibilités, lordinateur vient au secours de lenseignement car sans ordinateur on ne prendrait pas toujours le temps de représenter la fonction correspondante chaque fois.
Exercices au local :
Fiche n°36 : Transformations du plan.
(Utilisation de Deuxième niveau/Transformations du plan)
Soit | ![]() |
Dans le repère (O, OI, OJ), on a : O(0, 0), I(1, 0), J(0, 1) et P(x, y).
Par la transformation t de matrice T, t(O)=O, t(I)=I, t(J)=J et t(P)=P.
avec OO=a OI + b OJ, OI=m OI + n OJ, OJ=p OI + q OJ, OP=x OI + y OJ,
Le programme permet de construire limage dune figure donnée par une transformation ou par la composée de deux transformations pour en étudier les propriétés géométriques, sans quil soit nécessaire de comprendre tous les calculs sous-jacents.
Il sera donc un auxiliaire utile pour étudier les transformations ou leurs composées en suggérant par voie graphique quels pourraient être les invariants et encourager ensuite lélève à en faire la démonstration.
Le professeur pourrait par exemple commenter en classe les exercices suivants :
Il faut donc déterminer t3° t2° t1. On déterminera dabord t2° t1. Cette composée sera considérée comme t1, t3 comme t2 et il restera donc à déterminer à nouveau t2° t1.
Soit t1 laffinité daxe Ox, de direction Oy et de rapport 0.3 de matrice
et la rotation t2 de centre (-1,1) et dangle 30° de matrice
La composée t2 ° t1 est une permutation affine directe de matrice
Cette dernière matrice deviendra celle de la transformation affine t1 (on encodera donc cette matrice).
On détermine ensuite lhomothétie t2 de centre (1,-1)
et de rapport 0.8
La composée t2° t1 est alors la
permutation affine directe recherchée :
Remarque :
En cliquant sur la transformation affine t obtenue, on vérifie quelle est contractante, c'est à dire telle que la distance des images de deux points est inférieure à la distance de ces points. Ce type de transformation sera utilisé dans la méthode IFS des fractales naturelles.
est contractante
Cette matrice est une de celles qui permettent de représenter une fougère ( voir fractales naturelles).
Exercices dextension :
Les plus motivés chercheront ce que deviennent dans lespace les propriétés découvertes, et pourront trouver confirmation de leurs conclusions en explorant le programme Troisième niveau (2)/Transformations/ Transformations de lespace.
Fiche n°37 : Suites et séries.
(Utilisation de Troisième niveau (1)/Suites et séries)
Ce seront surtout les suites arithmétiques et géométriques qui retendront lattention. Lintérêt est de les illustrer graphiquement ainsi que la suite des sommes et des produits partiels.
Ces notions étant bien comprises, il sera possible détudier dautres suites ainsi que des critères de convergence.
Exercices au local avec le professeur : (voir aussi "Suites et séries")
On définit u(n+1)=u(n)+3, avec u(1)=-4 et n=10.
En choisissant u(1)+u(2)+ , on vérifie que s(10)=95. Par calcul s(10)=(-4+23)*10/2.
On définit u(n+1)=u(n)*2, avec u(1)=1/8 et n=6.
En choisissant u(1)+u(2)+ , on vérifie que s(6)=7.875. Par calcul s(6)=(4*2-0.125)/(2-1)
En choisissant u(1)*u(2)* , on vérifie que p(6)=0.125. Par calcul p(6)= Ö ((1/8*4)6)
On définit u(n+1)=u(n)/2, avec u(1)=1 et n=50 par exemple.
En choisissant u(1)+u(2)+ , on vérifie graphiquement que s(n) converge vers 2.
Par calcul, la limite de s(n) quand n tend vers linfini est égale à 1/(1-1/2) cest à dire 2.
En représentant graphiquement les premiers termes (50 par exemple) de chaque suite, on devine que la suite s(n) ne converge pas, et les plus perspicaces remarqueront que cette suite semble avoir la même allure que celle de la fonction f(x)=ln(x). Effectivement on observe que si n augmente lécart s(n)-ln(n) tend vers une constante 0.577 On a donc fait grâce à lordinateur une grande découverte ! Mais on déchante vite quand on apprend quEuler (1717-1783) avait déjà trouvé cette constante 0.57721 56649 01532 sans ordinateur et lui a laissé son nom ! Néanmoins lordinateur a été ici encore un outil de découverte.
Les nombres de couples engendrés par le couple né à la date 0 et ses descendants sont donc à chaque mois anniversaire 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, et forment la suite de Fibonacci définie par la formule de récurrence : u(n+2)=u(n+1)+u(n), avec u(1)=u(2)=1.
Soit q(n+1)=u(n+1)/u(n). La suite des quotients est donc 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, et on observe graphiquement et numériquement que cette suite converge vers 1,61803
En effet (n+1)/u(n)=(u(n)+u(n-1))/u(n)=1+u(n-1)/u(n) ou encore q(n+1)=1+1/q(n) et en supposant que la suite q(n) converge vers le nombre j , q(n+1)=1+1/q(n) devient j =1+1/j et j =(1+Ö (5))/2=1.61803 =le nombre dor.
On pour vérifier si cette limite j dépend des valeurs initiales de u(1) et u(2).
Remarque. On croit savoir actuellement que les suites engendrées par 1, 2, 3, , 1040 sont finies. Au delà elles le sont probablement aussi.
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