Troisième partie
: UTILISATION DE MENUMATH EN CLASSE.Linformatique apporte de nouveaux moyens que lenseignant doit quasi inéluctablement apprivoiser, parfois au prix de nombreux efforts dadaptation et de réflexion.
Le logiciel Menumath, en particulier, est un de ces outils que lenseignant pourra aisément utiliser pour tenter de faire voir et mieux comprendre son cours de mathématique par lélève.
Les représentations graphiques quil offre ne sont pas indispensables à une bonne compréhension du sujet traité, une représentation mentale peut suffire et on sen contentait dailleurs avant larrivée des ordinateurs. Mais puisquil est devenu possible de réaliser à lécran ces images mentales, il serait dommage de sen priver, dautant que leur concrétisation à lécran peut suggérer à lutilisateur des hypothèses et conjectures nouvelles et devenir ainsi un outil dinvestigation supplémentaire.
Pour sen convaincre, cette troisième partie du fascicule voudrait, en quelques fiches non exhaustives, suggérer aux professeurs des pistes possibles dutilisation du logiciel, et des exercices de prolongement à exécuter par des élèves au local dinformatique par groupe de 2 ou 3 par ordinateur.
Chacun pourra sen inspirer afin den imaginer dautres mieux adaptées à son cours, plus instructives et performantes en les enrichissant du fruit de son expérience personnelle, lobjectif étant toujours damener lélève à une meilleure découverte du monde mathématique à laide de regards complémentaires.
Les graphiques et résultats obtenus pourront être utilement récupérés dans un traitement de texte. Ce sera encore une excellente occasion de plus pour mieux se familiariser avec lincontournable traitement de texte.
On supposera évidemment que le professeur dispose dun local équipé dun ordinateur et dun matériel ad hoc de projection (tablette digitale, ). La souris sera alors largement utilisée comme indicateur à lécran.
En particulier, lorsquen passant sur un graphique, limage du curseur devient une croix, le professeur pourra avantageusement lutiliser pour marquer des points particuliers à lécran, pour montrer limage par une fonction de valeurs de x ou dun intervalle, pour montrer les limites dune fonction, pour montrer la continuité ou la discontinuité en un point, pour hachurer une partie du plan, etc. (voir clics de la souris et coordonnées)
Dans la suite, les chemins daccès aux différents programmes seront indiqués au départ des onglets :
Premier niveau, Deuxième niveau, Troisième niveau (1), Troisième niveau (2) et Compléments.
SommaireFiche n°1 : Exercices dentraînement.
(Utilisation de Premier niveau/un des 7 programmes)
Trop délèves éprouvent de sérieuses difficultés pour le calcul mental, le calcul dexpressions algébriques simples, les règles de priorités des opérations. Un des remèdes possibles réside sans doute dans la répétition des exercices dentraînement.
Le professeur présente les programmes en classe et convie les élèves à choisir au local dinformatique selon leurs besoins spécifiques ceux qui leur permettront de mieux dominer le calcul des PGCD, PPCM, des entiers, des rationnels, des réels, ou de mieux maîtriser la résolution déquations simples.
Ces séances pourraient être organisées aussi lors de rattrapages, ou même à domicile si lélève dispose du matériel nécessaire.
Certains exercices ne sont pas prévus pour être résolus mentalement, mais nécessitent une recherche écrite.
Lorsque le résultat attendu est un réel non obligatoirement entier, lélève peut répondre de deux manières différentes : soit en tapant directement la réponse, soit en formant au clavier l'expression de la réponse. Dans R, par exemple :
Laspect ludique peut favoriser une meilleure maîtrise du calcul numérique, chacun pouvant travailler à son rythme et sans contraintes extérieures. Les jeux Compléments/Le nombre mystérieux ou Compléments/Le compte est bon constituent un autre remède possible et moins austère.
SommaireFiche n°2 : Valeurs numériques dune fonction.
(Utilisation de Deuxième niveau/Valeurs numériques)
Lobjectif est de familiariser lélève au calcul des valeurs numériques dune fonction, den découvrir son domaine de définition et desquisser déjà une première représentation graphique.
Soit f(x)=Ö x.
On calcule f pour différentes valeurs de x et on en profite pour faire trouver le domaine de définition.
Le cas échéant, on tentera de la représenter graphiquement point par point et on pourra toujours vérifier ultérieurement son graphique dans Troisième niveau (1)/Les fonctions/Graphe dune fonction.
Si la fonction est constante et ne dépend pas explicitement de la variable x, on se contentera de faire varier x fictivement par exemple de 0 à 1 par pas de 2 pour limiter laffichage à une seule ligne.
Le professeur propose ensuite aux élèves dexplorer au local dautres fonctions simples.
Exercices au local : Explorer les fonctions suivantes :
Fiche n°3 : Valeurs numériques de deux fonctions.
(Utilisation de Deuxième niveau/Valeurs numériques)
Lobjectif est de calculer les valeurs numériques de deux
fonctions f et g pour éventuellement les comparer.
Dans certains cas, ces fonctions pourront être déclarées, avec prudence, identiques. On
dispose ainsi dun moyen de vérifier des identités remarquables, des formules
trigonométriques
Dans dautres cas, on pourra trouver et distinguer des domaines de définition,
découvrir une propriété (parité, périodicité,
), etc.
Ensuite, dans Troisième niveau (1)/Les fonctions/Graphes de n fonctions (n£ 9) on pourra encoder ces deux fonctions et vérifier graphiquement les conclusions obtenues.
Le professeur présente lun ou lautre exemple en classe comme f(x)=(x²-4)/(x+2) et g(x)=x-2, et invite ensuite les élèves à réfléchir au local à dautres situations.
Exercices au local : Comparer les valeurs numériques de f(x) et g(x) et conclure, sachant que f(x) et g(x) sont respectivement :
et si lélève a les connaissances requises :
Fiche n°4 : Fonction, équation, inéquation du premier degré.
(Utilisation de Deuxième niveau/Le premier degré/Etude de f(x)=ax+b)
Lobjectif est de voir f(x)=ax+b et de comprendre le signe
de f(x), léquation et les inéquations associées.
Grâce à la présentation sur un même écran du graphe et de la solution, lélève
devrait mieux saisir les rapports entre ceux-ci.
Ainsi le graphe de f(x)=2x-3 permettra de résoudre léquation 2x-3=0,
linéquation 2x-3³ 0, etc.
On noubliera pas de choisir Format/Notations fractionnaires si nécessaire.
Exercices au local : Résoudre et interpréter graphiquement :
Fiche n°5 : Inéquation du premier degré avec paramètre.
(Utilisation de Deuxième niveau/Le premier degré/Etude de f(x)=a(t)x+b(t) )
On a résolu en classe linéquation : t(x+4)-2t-1<0 et on désire vérifier graphiquement la solution trouvée :
t<0 Þ S=](1-2t)/t ; à [
t=0 Þ S=R
t>0 Þ S=]ß ; (1-2t)/t[
Soit f(x) = t(x+4)-2t-1, linéquation devient donc f(x)<0.
Choisissons quelques valeurs particulières de t.
t=-1 Þ f(x)=-x-3 et S=]-3 ; à [
t=1 Þ f(x)=x+1 et S=]ß ;
-1[
etc.
Ainsi pour chaque valeur de t variant de 5 à 5 par pas de 1 par exemple, on affiche la droite et la solution correspondante et on comprendra mieux lhistoire de linéquation résumée par les trois lignes de la solution.
Exercices au local :
Sommaire
- tx>2x+3
- 2x(t+2)<8-t²
- 3x-tx£ t²-9
Fiche n°6 : Fonction, équation, inéquation du second degré.
(Utilisation de Deuxième niveau/Le second degré/Etude de f(x)=ax²+bx+c)
Lobjectif est de voir f(x)=ax²+bx+c, de comprendre le signe de f(x), léquation et les inéquations associées, et de rappeler chaque fois les formules de somme et produit des racines, si ces racines existent
Encore une fois, la présentation sur un même écran du graphe et de la solution devrait conduire lélève à mieux saisir les liens entre ceux-ci.
Ainsi le graphe de f(x)=x²+2x-3 permettra de résoudre léquation x²+2x-3=0, linéquation x²+2x-3³ 0, etc.
Exercices au local :
Fiche n°7 : Equation du second degré avec paramètre.
(Utilisation de Deuxième niveau/Le second degré/Etude de
f(x)=a(t)x²+b(t)x+c(t))
On a fait en classe létude du nombre et du signe des racines le
léquation :
(t²-9)x²+2(t-3)x-t+3=0 quand t varie de moins linfini à plus
linfini,
et on désire vérifier graphiquement la solution trouvée :
t<-4 Þ S=Æ
t=-4 Þ S={1}
-4<t<-3 Þ S={x ; x} avec
0<x<x
t=-3 Þ S={1/2} (équation du premier degré)
-3<t<3 Þ S={x ; x} avec
x<0<x et x<S/2
t=3 Þ S=R
3<t Þ S={x ; x} avec
x<0<x et x<S/2
Soit f(x) = (t²-9)x²+2(t-3)x-t+3=0. Léquation devient f(x)=0.
Choisissons quelques valeurs particulières de t.
Pour chaque valeur de t variant de 5 à 5 par pas de 1 par exemple, on affiche la parabole (ou la droite) et la solution correspondante. Avec laide du professeur les élèves pourront dégager les rapports entre graphiques et solution et vérifier que les racines obtenues sont bien celles prévues par la solution indiquée ci-dessus..
Mais on peut aller plus loin et répondre à des questions telles que : Trouver t pour que les racines de léquation (t²-9)x²+2(t-3)x-t+3=0 soient positives, et/ou comprises entre 1 et 1, et/ou .
Si nécessaire on affichera alors les verticales º x=0, x=-1, x=1,
De la même manière, on peut résoudre et interpréter les inéquations (t²-9)x²+2(t-3)x-t+3<0, (£ 0, >0, ³ 0, ¹ 0), comme dans la fiche 5.
Exercices au local :
Fiche n°8 : Inéquation avec paramètre.
(Utilisation de Troisième niveau (1)/Fonction à paramètre/Une ou deux fonctions avec paramètre m réel)
Les fiches 5 et 7 concernaient des équations ou inéquations du premier ou du deuxième degré. Comment interpréter une équation ou une inéquation quelconque avec un paramètre ?
Soit à résoudre linéquation : (m+1)/(m-2)+x/(x+1)<1.
Après avoir fait leffort de résoudre cette inéquation en classe, on ne renonce pas à lidée de vérifier la solution trouvée :
m<-1 Þ S=]-1 ;-3/(m+1)[
m=-1 Þ S=]-1 ; à [
-1<m<2 Þ S=]ß ;
-3/(m+1)[ È ]-1 ; à [
m=2 est à rejeter
2<m Þ S=]-1 ;-3/(m+1)[
Soit f(x) = (m+1)/(m-2)+x/(x+1)-1. Linéquation devient donc
f(x)<0.
Choisissons judicieusement quelques valeurs particulières de m :
Pour m=-2, on représente f et on observe que f est strictement négative pour
1<x<3 comme prévu.
Semblablement, pour m=-1 on trouve bien x>-1, pour m=0 on a x<-3
ou x>-1 et pour m=3 on a bien 1<x<-3/4.
Cette méthode sapplique évidemment aux équations et inéquations des fiches 5 et
7.
Exercices au local : Résoudre et interpréter graphiquement :
Fiche n°9 : Etude de la droite.
(Utilisation de Deuxième niveau/Le premier degré/Droite d º ax+by+c=0)
Ce programme permet essentiellement à lélève de vérifier ou de corriger un travail personnel. Il lui offre aussi la possibilité de modifier les données, den soupçonner limpact sur le résultat et de vérifier ensuite à lécran ses prévisions.
Cette interactivité conduit lélève motivé à une meilleure maîtrise de son cours et il pourra affronter avec plus de confiance des exercices plus généraux comme le suivant :
Rechercher les équations des côtés, des hauteurs, des médianes et des bissectrices dun triangle quelconque et vérifier que lorthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit au triangle sont alignés (droite dEuler), ou confondus.
Dans ce cas, le programme Deuxième niveau/Eléments dun triangle lui permettra de vérifier lentièreté de sa solution, et en jonglant avec ces éléments, il finira par ne plus confondre médiane, médiatrice, bissectrice,
Exercices au local :
Fiche n°10 : Etude de la parabole.
(Utilisation de Deuxième niveau/Le second degré/Parabole Pº ax²+bx+c)
Ce programme permet surtout à lélève de vérifier ou de corriger un travail personnel. Il lui offre aussi la possibilité de modifier les données, den soupçonner limpact sur le résultat et de vérifier ensuite à lécran ses prévisions.
Exercices au local :
Fiche n°11 : Les polynômes et la règle de Horner.
(Utilisation de Deuxième niveau/Les polynômes/Règle de Horner dans R)
Lobjectif est de familiariser les élèves à cette règle incontournable. Ce sera aussi loccasion de faire découvrir les quotients remarquables.
Factoriser le plus possible polynôme A(x)= x4-3x3-21x2+43x+60
On trouvera les diviseurs de 60, on vérifiera que A(-1)=0 et on divisera le polynôme par x+1. A laide du bouton A ß C, on placera le quotient C dans le dividende A et on factorisera A de la même manière.
Exercices au local :
1) Déterminer le quotient et le reste de la division de
- x³-5x²+11x-6 par x-2
- 4x³+4x²-5x-3 par x+1
- x³-7x+6 par x-1
- x4-7x2+x-6 par x+3
- x5-1 par x-1
- x5-1 par x+1
- x5+1 par x-1
- x5+1 par x+1
- x6-1 par x-1
- x6-1 par x+1
- x6+1 par x-1
- x6+1 par x+1
2) Factoriser le plus possible :
- -4x³+5x²+7x-2
- 6x4-7x3-31x2+42x
3) Résoudre
Sommaire
- 6x4+13x3-13x-6=0
- 3x4-10x3+10x-3>0
- x4+2x3-16x2-2x+15£ 0
- x4-7x3+17x2-17x+6¹ 0
Fiche n°12 : Lieu géométrique engendré par deux droites.
(Utilisation de Troisième niveau (1)/Systèmes déquations/Systèmes de n équations à 2 inconnues à paramètre)
Dans le temps, on imaginait un dessin animé montrant les génératrices et leur point dintersection pour chaque valeur successive du paramètre, mais bien sûr personne ne songeait à réaliser un tel film.
Puisque maintenant lordinateur nous en offre la possibilité, pourquoi sen priver, surtout sil permet de se faire mieux comprendre.
Soit le problème : On considère le triangle OAB. O(0 ; 0), A(1 ; 0) et B(0 ; 1). Une droite mobile d parallèle à OA coupe OB en C et AB en D. Trouver le lieu géométrique de lintersection P de OD et AC.
Soit C(0,t). On trouve OD º tx+(t-1)y=0 et AC º tx+y-t=0. En éliminant t on obtient le lieu brut L º y(2x+y-1)=0 formé du lieu singulier º y=0 et du lieu proprement dit º 2x+y-1=0 qui est la médiane de OA.
Dans Troisième niveau (1)/Systèmes déquations/Systèmes de n équations à 2 inconnues à paramètre, on encode les deux équations tx+(t-1)y=0 et tx+y=t, on fait varier t entre 0 et 1 par pas de 0.1 et en cliquant sur Solution, on représente les génératrices et leur point dintersection. Dans Options, on peut se limiter aux seuls points dintersection, et dans Repère on choira le meilleur système daxes..
Exercices au local :
x²+y²-1=0 aux points de coordonnée (cost ; sint) et (cos(t+p /2) ; sin(t+p /2)) est le cercle x²+y²-2=0.
SommaireFiche n°13 : Lieu géométrique engendré par deux courbes.
(Utilisation de Troisième niveau (1)/Fonction à paramètre/Une ou deux fonctions avec paramètre m réel)
Un lieu géométrique nest pas nécessairement engendré par deux droites, comme dans la fiche précédente. Il peut lêtre plus généralement par deux courbes représentant les fonctions f et g, comme dans lexemple suivant.
Trouver le lieu géométrique des points de contact des tangentes comprenant le point (0 ; -1) aux paraboles déquation y = mx².
On vérifie que les tangentes à y=mx² issues de (0 ; -1) ont
pour équation y=± 2xÖ m-1.
Ici les génératrices du lieu sont f(x)=mx² et g(x)=± 2xÖ m-1 et une au moins nest pas une droite.
En éliminant m on trouve le lieu brut L º y = 1, le
lieu proprement dit étant L \ {(0 ; 1)}.
Remarquons que ce lieu aurait été découvert plus rapidement par des considérations
géométriques élémentaires.
Après avoir encodé f(x)=x² et g(x)= 2xÖ m-1, on en représente le graphe pour des valeurs non nulles de m, on peut marquer dun cercle plein les points de contact des tangentes et dun cercle vide le point (0,1) et représenter la droite º y=1. En encodant g(x)= -2xÖ m-1, on obtiendra les autres points du lieu.
Linconvénient de ce programme, plus général, est quil ne marque pas automatiquement les points dintersection des génératrices.
Exercice au local :
Encoder f(x)=m/x et g(x)=x+m , représenter chacune de ces fonctions pour m variant de 5 à 5 par pas de 1 et marquer dun cercle plein les points dintersection des paires de génératrices
Montrer ainsi que le lieu brut des points dintersection est Lº xy+x-y=0 (à vérifier dans Troisième niveau (1)/Coniques/Graphe et éléments ).
SommaireFiche n°14 : Eléments dune conique.
(Utilisation de Troisième niveau (1)/Coniques/Graphe et éléments)
Représenter la conique C º 13x²+10xy+13y²+42x-6y-27=0. Déterminer tous ses éléments, et trouver les équations des tangentes comprenant le point (1,3).
Ce programme sera surtout utile au professeur qui veut sélectionner
rapidement des exercices pour préparer ses cours ou des questions.
Lélève pourra aussi lexploiter avec bonheur pour vérifier un devoir ou des
recherches personnelles.
Exercices au local : Représenter graphiquement les coniques : (Voir aussi "Graphe d'une conique")
Fiche n°15 : Lieu des centres dun faisceau de coniques.
(Utilisation de Troisième niveau (1)/Conique/Faisceaux de coniques)
Montrer que le lieu géométrique des centres du faisceau de coniques engendré par C1 et C2 est la droite d º x+y=0, sachant que C1 º x²+y²-2x+2y-3=0 et C2 º xy=0.
Soit le faisceau C º C1 + t C2 = 0. En classe, on a montré que le lieu brut est L º (x+y)(x-y-1)=0. Il est formé du lieu proprement dit L1 º x+y=0 et du lieu parasite L2 º x-y-1=0.
On a également trouvé lhistoire du faisceau résumée par :
t<-2 Þ C est une hyperbole propre
t=-2 Þ C est une parabole dégénérée
-2<t<2 Þ C est une ellipse propre
t=2 Þ C est une parabole propre
2<t Þ C est une hyperbole propre
Tous ces résultats apparaîtront à lécran en quelques clics de souris, et permettront à lélève de mieux imaginer le mouvement des coniques du faisceau et des centres.
Dans Affichage on peut se limiter à la représentation des seuls centres si on le désire.
Exercice au local : (Voir aussi "Faisceaux de coniques")
Trouver le lieu géométrique des centres de Cº 2x²+10xy+4y²+2tx+(t+1)y=0 et vérifier graphiquement.
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