2. Fonctions avec paramètre.
a. Une ou deux fonctions à paramètreDéfinissez une fonction (f) ou deux fonctions ( f et g) contenant un
paramètre m.
Vous en obtiendrez le graphe, pour les valeurs de m variant de a à b
par pas de p.
Il sera dès lors possible de montrer qu'une fonction f comprend un ou plusieurs points
fixes, ou de représenter les courbes génératrices f et g d'un lieu de points.
Exemples :
1. Déterminer le(s) point(s) fixe(s) des fonctions suivantes :
a) f(x)=mx (m varie de 0.25 à 2.25 par pas de 0.25)
b) f(x)=(2x²+mx-3)/(x²+mx+1)
c) f(x)=(x²+3x+4m)/(x²+(5m+1)x+3)
d) f(x)=exp(2x)-4m exp(x)+2m+2
e) f(x)=exp(3x)-(4+m) exp(2x)+2(2+m)exp(x)-m
2. Déterminer le lieu géométrique engendré par les génératrices f(x)=mx+1 et g(x)=x+m. Que dire si m=1 ?
3. Résoudre l'inéquation : (m+1)/(m-2) + x/(x+1) < 0 et vérifier graphiquement la solution.
On trouve :
Si m < -1 alors -1 < x < -3/(m+1)
Si m = -1 alors x > -1
Si -1 < m < 2 alors x < -3/(m+1) ou x > -1
Si m = 2 alors m est à rejeter par les conditions initiales
Si m > 2 alors -1 < x < -3/(m+1)
Pour les valeurs utiles de m, afficher le graphe de f(x)= (m+1)/(m-2) + x/(x+1) 1 et retenir les valeurs de x telles que f(x)<0.
Sommaireb. Somme de fonctions à paramètre m entier.
On considère la fonction S(x,M) = f(x)+somme pour m allant de m0 à M par pas de p de g(x).
Exemple :
Pour représenter : sin(x) = x x³/3! + x5/5! -
x7/7! +
on choisit f(x) = x et g(x) = (-1)m x2m+1 / (2m+1) ! et on
définit h(x)=sin(x)
On a donc : S(x,M)= x x³/3! + x5/5! - x7/7! + ... + (-1)M x2M+1 / (2M+1) !
( m variant de m0=1 à M par pas de p=1).
On pourra représenter graphiquement :
Dans ce dernier cas, en choisissant une valeur x0 et en cliquant sur le bouton x0, on peut voir les ordonnées des points dabscisse x0 appartenant à chacune des courbes.
Ces points et leurs coordonnées apparaîtront plus clairement en cliquant sur le bouton M, S(x0,M)).
Attention :
Exemples :
Remarque : Dans les exemples suivants, on prendra, sauf mention contraire, m0=1 et p=1.
( éventuellement, choisir x0=1 par exemple et cliquer sur le bouton x0 puis (M,S(x0,M)) ).
Une deuxième solution : Soit f(x)=0 et g(x)=x/m
( choisir x0=1 et cliquer sur le bouton x0 puis (M,S(x0,M))
).
Que peut-on dire de la limite de 1+1/2+1/3+ ... +1/M quand M tend vers l'infini?
Semblablement, représenter S(x,M)=1/2+1/4+1/8+ ... +1/2M et deviner la limite quand M tend vers l'infini.
Choisir f(x) = x ; g(x) = (-1)m x2m+1 / (2m+1) ! et h(x)=sin(x).
Afficher les valeurs de ( M, S(5p /6,M ) ) et en s'aidant de ce tableau, trouver jusqu'à quel ordre il a fallu calculer sin(5p /6) pour obtenir la valeur exacte (0.5) à 1 E -06 près ?
Choisir f(x) = x ; g(x) = (-1)m x2m+1 / (2m+1) et h(x)=arctg(x).
Représenter enfin la courbe h(x)=ln(x) et observer que les valeurs de
S(1,M) - ln(M) semblent tendre vers une constante.
Vérifier cette impression en sélectionnant Voir/Valeurs de S(x0,M)-h(M).
En fait Euler avait déjà trouvé que la limite de 1+1/2+1/3+ ... +1/M - ln(M) quand M
tend vers l'infini est une constante. Cette constante qui porte son nom vaut 0.5772156...
(multiplier les deux membres par -2sin(r/2) et transformer chaque terme du membre de droite en somme de deux termes). On trouve S(x,M)=sin(x+(M-1)r/2) sin(Mr/2)/sin(r/2).
On peut vérifer cette solution quelle que soit la valeur de M, pour
x=2 et r=p /40 par exemple.
Soit h(x,M)=sin(x+(M-1)r/2) sin(Mr/2)/sin(r/2) ; S(x,M)=h(x,M).
Il faut donc montrer que S(2,M)=h(2,M), avec r=p /40. (
f(x)=0 ; g(x)=sin(x+(m-1) p /40) )
h(2,M)=sin(2+(M-1) p /80) sin(Mp
/80)/sin(p /80).
Pour cela, on peut représenter les points ( M, S(2,M) ) et
vérifier que la courbe définie par
h(x)=sin(2+(x-1)p /80) sin(p
x/80)/sin(p /80) comprend bien ces points.
Même question pour S(x,M)=cos(x)+cos(x+r)+cos(x+2r)+ ...
+cos(x+(M-1)r) = ...
= cos(x+(M-1)r/2) sin(Mr/2)/sin(r/2).
Soit r = x dans l'exemple précédent.
On trouve :
S(x,M)=sin(x)+sin(2x)+sin(3x)+ ... +sin(Mx) =sin(Mx/2) sin((M+1)x/2)/sin(x/2)
et, en particulier pour M=10 par exemple, on a
S(x,10)=sin(x)+sin(2x)+sin(3x)+ ... +sin(10x) =sin(5x) sin(11x/2)/sin(x/2) = h(x)
On pourra s'en convaincre en représentant graphiquement S(x,10) et h(x).
Semblablement, on peut démontrer et vérifier graphiquement que :
S(x,M)=cos x +cos(2x)+cos(3x)+ ... +cos(Mx) =sin(Mx/2) cos((M+1)x/2)/sin(x/2)
ou encore :
S(x,M)=cos(0x)+cos x+cos(2x)+cos(3x)+ ... +cos(Mx) =sin((M+1)x/2)cos(Mx/2)/sin(x/2)
Elle est partout continue mais jamais dérivable!.
En représentant S(x,M)=cos(x)+1/2 cos(2x)+ ... +1/(2M)
cos(2Mx) pour des valeurs successives de M, on peut découvrir progressivement
w.
f(x)=cos(x) ; g(x)=2-m cos(2mx) )
Afficher ensuite les valeurs de ( M, S(x0,M) ) pour différentes valeurs de x0,
et conclure.
Vérifier ensuite que la dérivée est w'(x)= -sin(x)-sin(2x)-sin(4x)- ... -sin(2m
x)- ...
En représentant S(x,M)= -sin(x)-sin(2x)-sin(4x)- ... -sin(2M x) pour des
valeurs successives de M, on peut découvrir progressivement w'.
Afficher ensuite les valeurs de ( M, S(x0,M) ) pour différentes
valeurs de x0, et conclure.
Soit S = cos(1/m²)+cos(2/m²)+ ... +cos(m/m²) et S' =
sin(1/m²)+sin(2/m²)+ ... +sin(m/m²).
Le lecteur vérifiera " aisément " par le calcul de S+iS' où
S+iS' = cis(1/m²)+cis(2/m²)+ ... +cis(m/m²) =
( cis((m+1)/m²) - cis(1/m²) ) / ( cis(1/m²) - 1 ) = ...
que S = ( cos((m+1)/(2m²)) sin(1/(2m)) ) / sin(1/(2m²))
et S' = ( sin((m+1)/(2m²)) sin(1/(2m)) ) / sin(1/(2m²))
On vérifie ensuite que S tend vers plus l'infini et S' vers 1/2 lorsque m tend
vers l'infini.
Une exploration graphique pour m=50.
Soit S(x,M)=sin(x/2500)+sin(2x/2500)+...+sin(Mx/2500)
On définit f(x)=0 ; g(x)=sin(mx/2500) et h(x)=sin((x+1)/(2x²)) sin(1/(2x)) /
sin(1/(2x²)) et on choisit un repère avec x maximum égal à 55 par exemple.
On fait varier M de M1=1 à M2=50 et on clique sur S(x,M).
On choisit ensuite x0=1 puis on clique sur (M,S(x0,M)).
On lit alors la valeur de S(1,50) égale à 0.509983...
En cliquant sur h(x) on vérifie graphiquement que h(50)=S(1,50).
Pour vérifier numériquement la valeur de h(50), revenez à Définir, choisissez
par exemplea=49, b=50, p=1 et cliquez sur Valeurs de h(x).
3. Fonctions en coordonnées paramétriques
Le premier programme représente le graphe des fonctions dont les coordonnées paramétriques sont : x = x(t) et y = y(t) pour t variant de a à b par pas de p. De plus, il fournit les valeurs numériques des coordonnées des points en fonction de la valeur du paramètre.
Le second programme, beaucoup plus général, représente le graphe dune à quatre fonctions dont les coordonnées paramétriques sont : x = xi(t, m) et y = yi(t, m) (1<=i<=4) pour t variant de a à b par pas de p, le paramètre m pouvant varier de m1 à m2 par pas de q.
On pourra lemployer par exemple pour suivre lévolution en fonction du paramètre m des graphes de fonctions en coordonnées cartésiennes, paramétriques ou polaires, pour étudier une fonction complexe dune variable complexe.
Sommairea. Coordonnées paramétriques dune fonction.
Exemples :
Représenter les courbes d'équation :
b. Coord param. dune à 4 fonctions avec paramètre.
Exemples :
1) Représenter graphiquement : f(x)=(m+1)/(m-2)+x/(x+1)-1
Il suffit de choisir : x(t)=t et y(t)=(m+1)/(m-2)+x/(x+1)-1
Faites varier m et résolvez par exemple f(x)<0
2) Représenter graphiquement la conique dont l'équation polaire est r(t)=1/(1+m*cos(t)). (m étant l'excentricité).
Il suffit de choisir : x(t)=1/(1+m*cos(t))*cos(t) et y(t)=1/(1+m*cos(t))*sin(t)
Faites varier m pour retrouver le cercle, les ellipses, la parabole et les hyperboles.
3) Soit f(z) = 1/z , z étant le nombre complexe x + i y
On a : f(x+iy)=1/(x+iy)=(x-iy)/(x²+y²)=x/(x²+y²)-iy/(x²+y²)
4) Sachant que sin(x+iy)=sinx chy + i cosx shy, cos(x+iy)=cosx chy - i sinx shy, on peut s'inspirer de l'exercice précédent pour rechercher l'image de la grille, d'un cercle, d'une courbe y=g(x) ... par une fonction définie par f(z)=sinz, f(z)=cos(z), ...
Sommaire4. Fonctions en coordonnées polaires
Le programme représente le graphe des fonctions dont les coordonnées
polaires ( t , r ) sont données par r = r(t) pour t variant de a à b
par pas de p.
De plus, il fournit les valeurs numériques des coordonnées cartésiennes des points
correspondants.
Remarque :
Pour représenter r(t)=2 cos(t)±1, choisissez r(t)=2 cos(t)+1 et s(t)=2 cos(t)-1.
Cliquez ensuite sur r(t) puis sur s(t).
Grâce aux boutons r(t), r(-t), -r(-t) on pourra étudier les
éléments de symétrie de la courbe.
Exemples :
1) Représenter les courbes suivantes :
a) r(t)=0.5t (Spirale d'Archimède) (t³ 0)
b) r(t)=exp(t)/10 (Spirale logarithmique)
c) r(t)=3/t (t>0) (Spirale hyperbolique) et l'asymptote (y=3)
d) r(t)= 3/Ö t (Spirale parabolique de Lituus)
e) r(t)=10 sin(t)/t (Cochléoïde) (t>0)
f) r(t)=25-9 sin²t (Ovale de Cassini)
g) r(t)=2 cos(t)±1 (±2, ±3) (Conchoïde de cercle)
h) r(t)=2/cos(t)±1 (±2, ±3) (Conchoïde de droite)
i) r(t)=3 Ö (sin(t))/cos(t) (Cissoïde)
j) r(t)= ± Ö (8cos(2t)) (Lemniscate de Bernoulli)
k) r(t)=3 (1±cos(t)) / sin(t) (Strophoïde)
l) r(t)=3+cos(4t)+sin(7t)
2) Construire un pentagone inscrit dans un cercle de rayon 2.
Solution : Soit r(t)=2 ; t varie de 0 à 2 p par pas de 2 p /5.
3) Comparer r(t)=exp(t/10) et s(t)=exp(t)/10.
Sommaire5. Fonction définie en n morceaux
Vous pourrez représenter une fonction définie en au plus 6 morceaux, et préciser ses valeurs aux extrémités des morceaux.
Remarque.
Pour indiquer que f n'est pas définie sur ]a, b[, il suffit de choisir sur cet intervalle
une fonction fn telle que fn(x) = Ö (-1)
par exemple. (1 £ n £ 6).
Exemple :
Représenter f = f1 È f2 È f3 avec :
f1(x) = sin(4x)-2 ssi 4 < x £ -1
f2(x) = x²-2x-2 ssi 1<x<2
f2(x) =1 ssi x=2
f3(x) = 1+cos(3x) ssi 2 < x £ 4
6. Intégrales définiesSommaire
Soit S l'intégrale définie de a à b de f(x) dx. | ![]() |
(a<b) : |
Une approximation de S est la somme Sn des aires Ai calculées sur chaque intervalle [xi-1, xi] par la méthode
- des rectangles (gauche) où Ai = (xi - xi-1) f(xi-1)
- des rectangles (droite) où Ai = (xi - xi-1) f(xi)
- des rectangles (milieu) où Ai = (xi - xi-1) f( (xi-1 + xi)/2 )
- des trapèzes où Ai = (xi - xi-1) ( f(xi-1)+f(xi) ) / 2
- de Simpon où Ai = (xi - xi-1) ( f(xi-1)+f(xi)+4 f( (xi-1 + xi)/2 ) ) / 6
- de Hermite où Ai = (xi - xi-1) ( f(xi-1)+f(xi) ) / 2 + (xi- xi-1)² ( f'(xi-1)-f'(xi) ) / 12
Une approximation de S est la somme Sn des aires Ai calculées sur chaque intervalle [xi-1, xi] par la méthode des subdivisions aléatoires où Ai = (xi - xi-1) f(ci) , ci étant un réel aléatoire tel que ciÎ [xi-1 ; xi]..
Dans tous les cas : | ![]() |
a. Comparaison des méthodes dintégration.
On pourra comparer sept méthodes de calcul des intégrales définies :De plus le Schéma de Romberg est développé pour les plus curieux.
![]() |
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On calcule dabord les réels | ![]() |
de la première colonne, qui représentent les approximations de S, obtenues par une méthode choisie (rectangle (gauche, droite, milieu), trapèzes, Simpson, Hermite), en partageant lintervalle [a ; b] respectivement en 1, 2, 4, 8, intervalles égaux.
On calcule ensuite les réels des colonnes suivantes, à laide de la formule de récurrence : |
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Exemples :
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Pour améliorer la lisibilité des graphiques, les points pourront être reliés par des segments de droite.
Deux suites particulières sont ajoutées pour les plus curieux.
Exemples.
De plus, pour ces mêmes fonctions, deux problèmes habituels sont traités :
le calcul de l'ordre minimum pour un x et un majorant donnés
le calcul d'un majorant pour un x et un ordre donnés.
(Voir aussi : Somme de fonctions à paramètre m entier)
Exemples :
La fonction w(x) de Weierstass est la somme quand n
varie de 0 à l'infini des termes d'expression générale
2-n cos(2n x).
La fonction v(x) de Van der Waerden est la somme quand n
varie de 0 à l'infini des termes d'expression générale
4-nv0(4nx) où v0(x) est une fonction
périodique, de période 1, telle que v0(x) = x pour 0 £
x<0.5 et v0(x)= 1-x pour 0.5£ x £ 1.
Ces fonctions sont des exemples de fonctions continues en tout point et
dérivables en aucun point.
On pourra sen convaincre en représentant ces fonctions et leurs dérivées pour des
valeurs successives de n.