Deuxième partie
: PRESENTATION DES PROGRAMMES.Les programmes sont classés par thèmes et par niveaux (12-13 ans, 14-15 ans, 16-17 ans et plus) et sont respectivement accessibles par la barre des menus ou par les boutons placés sur la page de longlet correspondant.
La présentation qui suit respectera le classement par thèmes.
Sommaire A. Exercices dentraînementCes programmes sont destinés par priorité au cycle inférieur, voire aux classes primaires si on se limite à N, Q+ et R+.
Dans la partie consacrée aux questions posées par lordinateur, on pourra choisir :
ou encore, selon le cas, le nombre de termes (ou de facteurs), lensemble N ou Z, Q+ ou Q, R+ ou R.
SommaireL'ordinateur peut proposer des séances d'exercices sur le PGCD et PPCM de 2, 3 ou 4 nombres. En cas d'erreur, l'ordinateur donne la réponse exacte, avec quelques étapes intermédiaires, et après la dernière question le score final.
SommaireLutilisateur peut demander, dans Z, la somme, la différence, le produit, le quotient, la puissance entière dentiers. Les réponses sont données par l'ordinateur avec explications et développement des étapes principales menant à la réponse finale, en énonçant les règles utilisées.
L'ordinateur peut proposer des séances d'exercices, dans N ou dans Z, sur les sommes, différences, produits, quotients, puissances, ou sur une quelconque de ces opérations, ou sur des expressions avec parenthèses. En cas d'erreur, l'ordinateur donne la réponse exacte, avec quelques étapes intermédiaires, et après la dernière question le score final.
SommaireCe programme est analogue au précédent et comporte des questions de l'utilisateur dans Q, ou de lordinateur dans Q+ ou dans Q.
SommaireProgramme analogue au précédent, avec questions de l'utilisateur dans R, ou de lordinateur dans R+ ou dans R.
Remarque : au lieu de donner directement la réponse finale, lutilisateur peut aussi en former l'expression au clavier. Par exemple, à la question : -0.3*(7.1-(-0.6))+0.16 on peut répondre en tapant directement la valeur -2.15 ou en tapant par exemple lexpression -0.3*7.7+0.16.
SommaireLutilisateur peut demander, dans Z, la solution déquations du type a+x = b, ax = b, ax+b = c. Les réponses sont données par l'ordinateur avec le développement des étapes principales menant à la réponse finale.
L'ordinateur peut proposer des séances d'exercices, dans N ou dans Z, sur ces mêmes équations, ou une quelconque de ces types. En cas d'erreur, l'ordinateur donne la réponse exacte, avec quelques étapes intermédiaires, et après la dernière question le score final.
SommaireProgramme analogue au précédent, avec questions de l'utilisateur dans Q, ou de lordinateur dans Q+ ou dans Q.
Par exemple, comme le montrent les figures suivantes, lordinateur refuse la réponse 2/9 comme solution de léquation 15/4 x + 11/(-15) = (-5)/19 et propose la solution exacte avec quelques étapes du calcul.
SommaireCe programme est analogue au précédent et comporte des questions de l'utilisateur dans R, ou de lordinateur dans R+ ou dans R.
Remarque : au lieu de donner directement la réponse finale, lutilisateur peut aussi en former l'expression au clavier.
Par exemple, à la question : 2.3*x-6.8=-4.04 on peut répondre en tapant directement la solution 1.2 ou en tapant par exemple lexpression (-4.04+6.8)/2.3.
SommaireOn entre une ou deux fonctions au clavier et on affiche ensuite les valeurs numériques de ces fonctions, lorsque x varie de a à b par pas de p.
On peut ainsi comparer ces fonctions. Sont-elles identiquement égales, ont-elles le même domaine de définition, quel est le rôle des parenthèses, etc. ?
Ce programme permet en particulier de sentraîner à introduire des fonctions au clavier.Exemples :
- Pour mieux comprendre le rôle des parenthèses, comparer des expressions telles que :
5*2-(3+8) ; 5*(2-3)+8 ; 5*2-3+8 ou (-2)4, -24, -(-2)4, etc.
- Comparer les valeurs des fonctions suivantes et conclure :
- f(x)=sqrt(x*x) et g(x)=x
- f(x)=sqrt(x*x) et g(x)=abs(x)
- f(x)=sqrt(x*x) et g(x)=sqr(sqrt(x))
- f(x)=sin(pi-x) et g(x)=sin(x)
- f(x)=sin(pi-x) et g(x)=sin(180-x)
- f(x)=(x*x-1)/(x-1) et g(x)=x+1
- f(x)=arcsin(sin(x)) et g(x)=sin(arcsin(x))
- f(x)=exp(ln(x)) et g(x)=ln(exp(x))
C. Le premier degré.
1. La fonction du premier degré.
Etude de la fonction f(x)=ax+b, terminologie, valeurs numériques, signes et racine, pente de la droite correspondante et représentation graphique.
Equation ax+b=0, inéquations ax+b<0, (£ 0, >0, ³ 0, ¹ 0).Exemples :
Sommaire
- Représenter graphiquement f(x)=0.5x+1, afficher les valeurs numériques.
- Résoudre 0.5x+1=0, résoudre 0.5x+1³ 0 et interpréter graphiquement.
2. La fonction du premier degré avec un paramètre.
3. Etude de la droiteLe programme représente graphiquement la fonction f(x) = a(t)x + b(t) pour des séries de 1 à 10 valeurs du paramètre t, comprises entre a et b et variant par pas de p, ainsi que les solutions des équations f(x)=0 ou des inéquations du type f(x)>0 (³ 0, < 0, £ 0, ¹ 0) correspondantes.
On suivra mieux lévolution de f en faisant varier t dune seule valeur à la fois.
En choisissant loption t fixé, on pourra étudier les graphiques pour les valeurs de t0 de son choix.
On pourra en particulier comparer les solutions à trois valeurs particulières de x en traçant les verticales correspondantes.
Exemples :
Sommaire
- Représenter graphiquement et interpréter f(x) = tx-2t+1. Trouver t pour que f comprenne le point (4,0).
- Trouver le nombre et le signe des racines de l'équation (t²-9)x+t-4 = 0, t étant un paramètre réel, et comparer les racines aux nombres -1 et 1. Interpréter graphiquement les résultats.
Le programme détermine l'équation cartésienne et des équations paramétriques d'une droite comprenant deux points, un point et une direction, un point et parallèle (perpendiculaire) à une droite donnée. Il détermine des équations paramétriques d'une droite dont on donne l'équation cartésienne, la coordonnée du point d'intersection de deux droites, les équations de droites formant un angle donné avec une droite donnée, les équations des bissectrices d'un angle et le signe de ax+by+c.
Il représente graphiquement ces droites, et le faisceau de droites º d1+md2=0.Exemples :
Sommaire
- Représenter la droite comprenant les points A(-2 ; 1) et B(2 ; 3).
- Représenter les droites d1 º 2x+3y-6=0 et d2 º 2x-3y=0. Trouver ensuite leur intersection.
- Sinspirer du signe de ax+by+c pour résoudre des inéquations d'un des types : ax+by+c>0, ( ³ 0, < 0, £ 0, ¹ 0).
D. Le deuxième degré.
1. La fonction du deuxième degré.
Etude de la fonction f(x)=ax²+bx+c, valeurs numériques, signes et racines, somme et produit des racines, axe de symétrie, extremum, représentation graphique.
Equation ax²+bx+c=0, inéquations ax²+bx+c<0, ( £ 0, > 0, ³ 0, ¹ 0 ).Exemples :
Sommaire
- Représenter graphiquement f(x)=0.5x²-0.5x-3, afficher les valeurs numériques.
- Résoudre 0.5x²-0.5x-3=0, résoudre 0.5x²-0.5x-3³ 0 et interpréter graphiquement.
2. La fonction du deuxième degré avec un paramètre.
SommaireLe programme représente graphiquement la fonction f(x) = a(t)x² + b(t)x + c(t) pour des séries de 1 à 10 valeurs du paramètre t, comprises entre a et b et variant par pas de p, ainsi que les solutions des équations f(x)=0 ou des inéquations du type f(x)>0 ( ³ 0, < 0, £ 0, ¹ 0) correspondantes.
On pourra en particulier comparer les solutions à trois valeurs particulières de x en traçant les verticales correspondantes.
Comme pour la fonction du premier degré avec un paramètre, on suivra mieux lévolution de f en faisant varier t dune valeur à la fois, et avec loption t fixé, on pourra étudier les graphiques pour des valeurs de t0 de son choix.
Exemples :
- Représenter graphiquement et interpréter f(x)=x²+2(2-t)x+t.
- Représenter graphiquement et interpréter f(x)=(t+2)x²-tx+t+1.
- Etudier le nombre et le signe des racines de l'équation (t²-9)x²+2(t-3)x-t+3=0, lorsque t varie de moins l'infini à plus l'infini.
- Trouver le nombre et le signe des racines de l'équation (t-2)x²-4tx+2t-6=0, t étant un paramètre réel, et comparer les racines aux nombres -1 et 1. Interpréter graphiquement les résultats.
E. Les polynômes. 1. Opérations sur les polynômes dans R.Le programme réalise graphiquement l'étude et la représentation graphique d'une parabole, résout et interprète des problèmes tels que l'intersection d'une parabole et d'une droite, l'intersection de deux paraboles, l'équation d'une parabole comprenant trois points, un point et un sommet, l'équation des tangentes comprenant un point, l'équation de la tangente de direction donnée et le signe de y-ax²-bx-c.
Exemples.
Sommaire
- Trouver léquation de la parabole comprenant les points (-3,-2), (1,4) et (3,-1).
- Trouver les points dintersection des paraboles y=x²-2x+3 et y=-x²+3x+4.
- Sinspirer du signe de y-ax²-bx-c pour résoudre des inéquations d'un des types : y-ax²-bx-c>0, (³ 0, <0, £ 0, ¹ 0).
2. Règle de Horner dans R.Le programme calcule la somme, la différence, les combinaisons linéaires, le produit, le quotient de deux polynômes et leur degré.
Le bouton A ¬ B signifie : transférer les données du polynôme B dans celles du polynôme A.
Le bouton A « B signifie : échanger les données du polynôme A et celles du polynôme B.Exemple :
- Que peut-on dire du degré de la somme, du produit, du quotient de deux polynômes ?
- On considère les polynômes : A(x)= -3x4+2x3-5x+7 et B(x)=2x²-4x+2
Calculer : A(x)+B(x), A(x)-B(x), 2A(x)-3B(x), A(x)*B(x), A(x)/B(x), B(x)/A(x), A(x)*A(x).
Sommaire
Le programme détermine la liste des diviseurs du terme indépendant, la valeur dun polynôme en a, calcule le quotient d'un polynôme par x-a, et représente le tableau de Horner.
Le bouton A ¬ C signifie : transférer les données du polynôme C dans celles du polynôme A.
Exemple :
Factoriser le plus possible le polynôme A(x)=x4-3x3-21x2+43x+60
Sommaire
3. Polynôme dans R comprenant n points.
Ce programme répond à la question dun élève : Peut-on
trouver une fonction dont le graphe est une courbe donnée ?
En particulier, si la courbe est bien le graphe dune fonction, peut-on trouver une
fonction polynôme dont le graphe comprend tous les points de cette courbe ?
Le programme se contente ici de déterminer le polynôme de degré 1 à 7 comprenant de 2
à 8 points dont on donne les coordonnées.
Exemples :
4. Les polynômes de degré inférieur à 4 dans C.
Le programme calcule les racines réelles et/ou complexes et factorise le polynôme.
Il calcule aussi le polynôme qui admet les racines réelles et/ou complexes (conjuguées) de votre choix, selon la sélection opérée dans Polynôme ayant pour racines.
Les racines ont été calculées à partir des formules générales des équations de degré £ 4 à coefficients réels. (Voir fiche n°29). C'est pourquoi les polynômes de degré strictement supérieur à 4 ne sont pas étudiés ici.
Exemples :
F. Transformations
Après avoir choisi une figure initiale (le drapeau est la figure par défaut), un carré, un cercle dont on choisit le centre et le rayon, une suite de n segments consécutifs (n£ 14) dont on peut choisir les n+1 extrémités, le programme en représentera l'image par une transformation (linéaire ou affine), une translation, une rotation, une homothétie, une symétrie centrale ou axiale, ou une composée de deux de ces transformations.
Dans ce dernier cas, la transformation composée sera identifiée, ainsi que sa matrice, et on pourra la retrouver en cliquant sur la transformation correspondante t(1).
Dans le cas dune transformation linéaire, le programme affiche l'équation caractéristique, les valeurs et vecteurs propres de la matrice de cette transformation et représente graphiquement ces derniers.
L'utilisateur pourra chaque fois trouver les invariants (conservation des angles, des longueurs, du parallélisme, du rapport de section, de l'orientation, etc.).
Exemples :
Après avoir choisi une figure initiale (le tétraèdre est la figure par défaut), un drapeau, un carré, une suite de n segments consécutifs (n£ 14) dont on choisira les n+1 extrémités, le programme en représentera l'image par une transformation (linéaire ou affine), une translation, une rotation daxe AB, une homothétie, une symétrie centrale, une symétrie par rapport à un axe AB, une symétrie par rapport à un plan ABC ou une composée de deux de ces transformations.
Dans ce dernier cas, la transformation composée sera identifiée, ainsi que sa matrice, et on pourra la retrouver en cliquant sur la transformation correspondante t(1).
Dans le cas dune transformation linéaire, le programme affiche l'équation caractéristique, les valeurs et vecteurs propres et représente graphiquement ces derniers.
Exemples.