Fiche n°26 : Variation de fonction.
(Utilisation de Troisième niveau (1)/Les fonctions/Graphe dune fonction)
Voilà lexercice récompense des nombreux efforts consentis.
Lordinateur peut nêtre quun outil de contrôle dune étude de fonction déjà réalisée.
Mais souvent, pour réaliser un tel travail lélève est confronté à des calculs longs et pénibles, même si la fonction à étudier nest pas trop compliquée à première vue, et il risque vite de se décourager. Des vérifications sont alors les bienvenues pour retrouver confiance et poursuivre ses investigations. Lordinateur devient alors un outil de recherche.
Les deux exemples suivants vont mettre en évidence ces deux aspects de contrôle et de recherche.
Lélève est censé avoir résolu par écrit en classe ou à domicile lexercice et veut simplement contrôler ses résultats à laide de lordinateur.
Dans Les fonctions/Etude dune fonction, on définit f et on la représente graphiquement. En parcourant les valeurs de f(x) lélève vérifie que la fonction nest pas définie en 2 et 3, quelle sannule en 1 et 3/2 quelle admet les asymptotes x=-2, x=3 et y=-2, et un minimum (0.165 ; -0.506 ).
Déjà le calcul des asymptotes nest pas évident. Dans Les fonctions/Limite en linfini et en un point, on recherche la limite en plus linfini de f(x). Cette limite vaut 1, il faudra donc trouver par calcul une asymptote horizontale à droite º y=1.
On recherche ensuite la limite à droite en 0. Pour lordinateur f nest pas définie en 0.0005. Avec un peu desprit critique, on sait que la fonction est bien définie en 0.0005 et que lordinateur craint les dépassements de capacité. Par prudence donc il nautorisera le calcul de la limite quà partir de 0.05 et lutilisateur osera finalement conclure que f admet un " trou " de coordonnée (0 ; 0).
Si le traitement de la dérivée première est raisonnable, et permet un calcul aisé du maximum (e ; e1/e), celui de la dérivée seconde fait apparaître le facteur 1-2lnx+ln²x+2xlnx-3x dont on ne peut déterminer les racines que par approximations successives. Le graphe suggère bien lexistence de deux points dinflexion dont labscisse de lun pourrait être comprise entre 0 et 1 et celle de lautre entre 3 et 6. Effectivement on les recherche dans Les fonctions /Approximations des racines, on trouve les racines 0.581 et 4.367 On pourra toujours vérifier dans Les fonctions/Etude dune fonction que la tangente en chacun de ces points traverse bien la courbe.
Exercices au local : Explorer lune ou lautre des fonctions suivantes : (Voir aussi "Graphe d'une fonction")
Sommaire
- f(x)=2x³-5x²+4x-1
- f(x)=x4+x
- f(x)=-2x4+3x2+2
- f(x)=(x4-5x3-4x2+44x-48)/10
- f(x)=10(5x²-1)(1-x)³
- f(x)=(x+2)²(x-1)³/4
- f(x)=(-x³+3x-2)/(x²+2x+1)
- f(x)=x²/(x²-1)
- f(x)=(x²-4)/(x²+2x-3)
- f(x)=(-2x²-x+1)/(x²-x+1)
- f(x)=(x²-5x+4)/(x²+5x+4)
- f(x)=(2x²-7x+3)/(x²-7x+12)
- f(x)=(x-1)³/(x+1)²
- f(x)=(x3-3x)1/3
- f(x)=Ö (x²-6x+10)
- f(x)=Ö (x²-3x)
- f(x)=2x-Ö (x²+x+1)
- f(x)=Ö (x³+x²)
- f(x)=Ö (x³-x²)
- f(x)=Ö |x²-6x+5|
- f(x)=x+Ö (x²-1)
- f(x)=x+Ö |x²-1|
- f(x)=|x-1|1/2 |x+1|3/2
- f(x)=Ö (x+2)²+1/(x+1)
- f(x)=xÖ ( (x-1)/(x+1) )
- f(x)=sinx+cosx
- f(x)=cosx+cos(2x)
- f(x)=cosx-sinx+1
- f(x)=(1+cosx)/(1-sinx)
- f(x)=x-tgx
- f(x)=xsinx
- f(x)=(sinx)/x
- f(x)=sin(1/x)
- f(x)=arccos(2x)
- f(x)=arcsinx²
- f(x)=arctg(1/x)
- f(x)=arcsinx+arcsin(2x)
- f(x)=arccotg(1/x)-arccotgx
- f(x)=arcsin(1/(1-x²))
- f(x)=arccos((2Ö x)/(x+1))
- f(x)=arcsin((x-1)/(x+1))
- f(x)=arctg(1/(1+x²))
- f(x)=4x-ex
- f(x)=xlnx-x
- f(x)=xe-x/2
- f(x)=x2e-x
- f(x)=(x+2)e1/x
- f(x)=e1/x/x
- f(x)=x/lnx
- f(x)=ex²+1/x
- f(x)=(lnx-2)/(lnx-1)
- f(x)=(1+ln²x)/(1-ln²x)
- f(x)=e-x/10cosx
- f(x)=(lnx)1/x
- f(x)=xlnx
- f(x)=x+1+3/(2x)+0.5ln|(x+1)/(x-1)|
Fiche n°27 : Intégrales définies.
(Utilisation de Troisième niveau (1)/Intégrales définies)
Soit f(x)= (-x³+2x²+7x+4)/4
Dans Troisième niveau (1)/Intégrales définies/Méthodes dintégration, calculons lintégrale de 2 à 3 de f(x)dx. On constate que par la méthode de Simpson on obtient la bonne réponse quel que soit le nombre n des points de subdivision. Ce résultat est tout à fait inattendu pour un polynôme du troisième degré, et la même surprise se produit pour dautres polynômes de degré 3. Ici lordinateur nous fait soupçonner une propriété qui aurait probablement échappé en dautres temps.
Il est aisé dailleurs de démontrer cette propriété en calculant lintégrale de 0 à a de x³ dx à laide dune primitive puis par la formule de Simpson et de constater légalité des résultats. Dès lors, par la propriété de linéarité de lintégrale définie la propriété est établie.
En recommençant les mêmes calculs pour x4 on prouvera que cette propriété ne subsiste pas.
Exploitons cette propriété pour sassurer que la méthode de Simpson est bien comprise par les élèves.
Dans Troisième niveau (1)/Intégrales définies/Interprétation graphique, on représente lintégrale de 2 à 3 de f(x) dx pour n=1 avec f(x)= (-x³+2x²+7x+4)/4.
Soit g la parabole comprenant les points A(-2 ; 1.5), B(0.5 ; 1.96875) et C(3 ;4). Dans Deuxième niveau/Le second degré/Parabole Pº y=ax²+bx+c/Voir/Parabole P comprenant les points A, B et C ou dans Deuxième niveau/Les polynômes/Polynôme défini par n points, on trouve que g(x)=0.125x²+0.375x+1.75.
Puisque lintégrale de 2 à 3 de f(x) dx égale lintégrale de 2 à 3 de g(x) dx, on est amené à penser que laire comprise entre f et g entre A et B est la même que laire comprise entre f et g entre B et C.
Il est aisé de prouver que lintégrale de 2 à 0.5 de (g(x)-f(x)) dx égale lintégrale de 0.5 à 3 de (f(x)-g(x)) dx.
Voici donc un bel exemple qui montre que lordinateur peut parfois être un outil de découverte.
Exercices au local : (Voir aussi "Intégrales définies").
SommaireFiche n°28 : Polynômes de Taylor.
(Utilisation de Troisième niveau (1)/Polynômes de Taylor)
Problème : Estimer sin(8) à 0.001 près.
Ce genre de problème a été résolu bien des fois, mais depuis larrivée des ordinateurs il est devenu possible de vérifier graphiquement les résultats avec facilité sans se livrer à des calculs de longueur prohibitive.
La question revient donc à chercher jusquà quel ordre il faut développer sin(x) pour que la valeur absolue de lerreur commise en prenant pour valeur de sin(8) la valeur de ce développement soit certainement inférieure à 0.001 ?
Puisque sin x = x x3/3! + x5/5! - x7/7! + ... + (-1)n-1 x2n-1 / (2n-1) ! + R2n+1
avec R2n+1 = x2n+1 / (2n+1) ! sin(x +(2n+1)p /2),
on sait que | R 2n+1 | < |x| 2n+1 / (2n+1) !
Cherchons donc le plus petit entier n tel que 8 2n+1
/ (2n+1) ! £ 0.001.
On trouve n=13. Le reste est donc dordre 27, et il faudra développer jusquà
lordre 25.
En cliquant sur f(x) avec un majorant M, avec x=8 et M= 0.001, on retrouve bien l'ordre 25 et la valeur sin(8)=0.989564. En adoptant pour valeur exacte de sin(8) celle que calcule lordinateur, lerreur en valeur absolue est 0.000206 et est effectivement inférieure à 0.001.
On vérifie dabord que lordre 25 est acceptable.
On choisit -1<x<14 et -2<y<2 dans Repère, et on clique sur Graphique pour un ordre variant de 1 à 29 par pas de 2. On observe que le polynôme d'ordre 25 donne une bonne approximation de sin 8.
On vérifie ensuite que lerreur en valeur absolue est bien inférieure à 0.001.
En effet, dans Repère, on choisit 7.998<x<8.002, 0.9893<y<0.9896, la graduation 0.0005 sur Ox et 0.00005 sur Oy, et on affiche la grille. On clique ensuite sur Graphique pour un ordre variant de 25 à 26 par pas de 2, (ceci pour nafficher que lordre 25) et on vérifie que l'écart entre la valeur approchée et la valeur exacte de sin 8 est bien 0.000206 en valeur absolue. Si Taylor et Mac-Laurin avaient vu cela !
Remarques
Connaissant ce résultat, si on pose la question : Trouver un majorant de lerreur commise en prenant pour sin(8) le développement jusquà lordre 25, on sattend à trouver un majorant inférieur ou égal à 0.001. Cherchons ce majorant M en cliquant sur f(x) jusqu'à l'ordre N, avec x=8 et N=25. On trouve en effet M=0.000222. M est bien inférieur à 0.001 et évidemment supérieur à 0.000206.
Il est évident qu'en pratique on estimera sin(8-2p ) et non sin 8.
Exercice au local : Estimer la valeur de e. ( e=exp(1) ) à 0.001 près.
SommaireFiche n°29 : Nombres complexes.
(Utilisation de Troisième niveau (2)/Nombres complexes et Troisième niveau (2)/Polynômes dans C)
Ce programme peut aider lélève à se familiariser avec la forme goniométrique, voire exponentielle dun nombre complexe, passage obligé pour interpréter graphiquement les opérations sur les complexes.
Le programme permet de résoudre aussi léquation du second degré à coefficients complexes.
Le programme Troisième niveau (2)/Polynômes dans C permet de résoudre les équations dun degré inférieur ou égal à 4 à coefficients réels. On pourra observer dans ce cas que si a+bi est solution alors a-bi est aussi solution. Les équations de degré 3 ou 4 ont été résolues à laide des formules suivantes :
D=R²+Q³ où Q=(3b-a²)/9 et R=(-2a³+9ab-27c)/54.
D>0Þ une racine réelle x1 et deux racines complexes conjuguées x2 et x3.
Soit S=(R+Ö D)1/3 et T=(R-Ö D)1/3
x1=S+T-a/3
x2=-(S+T)/2-a/3+i(S-T)Ö 3/2
x3=-(S+T)/2-a/3-i(S-T)Ö 3/2
D=0Þ une racine réelle x1 simple et deux racines réelles égales x2 et x3.
x1=2R1/3-a/3
x2=x3=-R1/3-a/3
D<0Þ trois racines réelles x1, x2 et x3. Soit q =arccos(R/Ö (-Q³))
x1=2Ö (-Q) cos(q /3)-a/3
x2=2Ö (-Q) cos((2p +q )/3)-a/3
x3=2Ö (-Q) cos((4p +q )/3)-a/3
2x²+x(a± Ö (a²-4b+4y1))+y1± (ay12c)/Ö (a²-4b+4y1)=0, où y1 est une racine réelle de léquation :
y³-by²+(ac-4d)y+4bd-a²d-c²=0.
Exercices au local :
Fiche n°30 : Matrices et déterminants.
(Utilisation de Troisième niveau (2)/Matrices/Etude des matrices)
Résoudre l'équation matricielle : | ![]() |
Honnêtement le calcul à la main est plus rapide quà lordinateur.
Lobjectif sera donc plutôt de bien organiser les calculs pour être capable den faire de plus élaborés.
On commencera par résoudre manuellement léquation et on
utilisera le programme ensuite.
On calcule dabord la somme des matrices du membre de droite et on place ce résultat
dans la matrice A (bouton A ¬ C)
On multiplie la matrice par 0.5 et on conserve ce résultat dans la matrice mémoire
M (bouton M ¬ C)
Il faut maintenant calculer linverse de la matrice coefficient de X. On
lencode en A, on forme en C la matrice inverse on place le résultat en B (bouton B
¬ C)
On replace en A la matrice M (bouton A ¬ M), et on
calcule enfin le produit des matrices en A et B pour trouver enfin la matrice inconnue X
en C.
Exercice au local :
Calculer la matrice adjointe de la matrice | ![]() |
et vérifier quen la divisant par son déterminant on retrouve bien la matrice inverse.
Résoudre léquation matricielle | ![]() |
Déterminer l tel que : | ![]() |
Pour chaque valeur de l trouvée, calculer x et y. On pourra utilement se référer ensuite à Troisième niveau (2)/Matrices/Valeurs propres et vecteurs
Sommaire(Utilisation de Deuxième niveau/Les vecteurs)
Pour n=1 ou 2 ou 3 les graphiques peuvent aider les élèves à se familiariser avec les opérations sur les vecteurs sur une droite, dans le plan ou dans lespace. Ils prendront conscience que cette représentation nest plus possible si n=4.
Ce programme illustre à volonté la somme, différence, le produit par un scalaire, pour les données de lutilisateur mais aussi avec des données aléatoires. Celles-ci placeront parfois lutilisateur dans des situations quil naurait peut être pas imaginées.
Avec des élèves motivés et du temps on pourrait introduire les notions de partie libre, liée, génératrice, non génératrice et de base. Dans ce cas, les théorèmes énoncés dans les Suggestions fourniraient matière à réflexion.
Soit par exemple, pour introduire les parties liées, n=2 et les points A(4 ; 1), B(3 ; -2) et C(-1 ; 5).
Exprimons si possible OA comme combinaison linéaire de OB et OC, puis OB comme C.L. de OA et OC, puis OC comme C.L. de OA et OB.
On trouve OA=21/13 OB + 11/13 OC, OB=13/21 OA - 11/21 OC, OC=13/11 OA - 21/11 OB, ou encore :
OA - 21/13 OB - 11/13 OC = OO
13/21 OA OB - 11/21 OC = OO
13/11 OA - 21/11 OB- OC = OO
Autrement dit la C.L. r OA + s OB + t OC = OO existe avec au moins un des coefficients non nul.
On dira que les vecteurs OA, OB et OC sont linéairement dépendants ou encore que la partie {OA, OB, OC} est liée.
Exercices au local :
- dun vecteur donné ? Si oui, de combien de manières ?
- de deux vecteurs donnés ? Si oui, de combien de manières ?
- de trois vecteurs donnés ? Si oui, de combien de manières ?