G. Analyse
Dans chacun des sous programmes, on pourra définir trois séries de fonctions :
On pourra également ajouter aux graphiques de 1 à 9 droites, notamment pour représenter des asymptotes.
En cliquant sur Souris à la barre des menus, on se rappellera des actions particulières de celle-ci.
SommaireLe programme calcule les valeurs numériques et représente le graphe dune fonction f, de sa dérivée première, de sa dérivée seconde. Il calcule la pente et léquation de la tangente en un point et la représente.
Il calcule encore des racines et les extremums de f, et représente graphiquement des normales, la réciproque, des cercles osculateurs et la développée (lieu des centres des cercles osculateurs).
Exemples :
a) f(x)=(2x²-x-3)/(-x²+x+6) (utiliser la série 2 ou 3)
b) f(x)=(3x4-20x3+36x2-12)/12 (série 1 ou 2 ou 3)
c) f(x)=x+2-Ö (x²+1)
d) f(x)=x+exp(-x)-2
e) f(x)=cos(cos(x))
f) f(x)=(cox(2/x))x²
g) f(x)=x(x-1)(x-2)
h) f(x)=x(x-0.1)(x-0.02)
i) f(x)=x³-0.12x²+0.002x
Représenter la tangente en quelques points, déterminer la pente de chaque tangente,
en déduire f'(x) et sa signification, et vérifier en cliquant sur f(x).
Recommencer en utilisant le bouton f à f.
Déterminer les extremums sur [1,4]. (Choisir convenablement le pas)
Déterminer les racines.
A l'aide de la souris, déterminer f([-1,4]).
Représenter le graphe de sa dérivée. En déduire celui de la fonction. Nombre de
solutions ?
Représenter le graphe de sa dérivée seconde. En déduire celui de la dérivée
première, puis de la fonction, puis .... Nombre de solutions ?
g(x)= | ![]() |
Représenter graphiquement g(x) (n=10) (méthode de Simpson) et les asymptotes
d'équations y=p /2 et y=-p /2.
Comparer avec f(x)=arctan(x).
Représenter ensuite et h(x)= | ![]() |
et conclure.
Représenter graphiquement f(x)= | ![]() |
(n=10) (méthode de Simpson).
( Dans Repère, choisir 0.1 pour valeur minimum de x ). Comparer avec f(x)=ln(x).
Solution proposée :
1 étant le centre de l'intervalle ]0.5 ; 1.5[, encoder f(x)=x²Ö
(0.5-|x-1|) / Ö (0.5-|x-1|). Justifier!
Représenter un intervalle ouvert comprenant f(a).
Représenter ensuite un intervalle ouvert comprenant a et dont l'image par f est
incluse dans l'intervalle ouvert comprenant f(a).
Vérifier que pour tout intervalle ouvert comprenant f(a), il sera toujours possible de
trouver un intervalle ouvert comprenant a dont l'image par f est incluse dans le
premier intervalle.
Représenter un intervalle ouvert comprenant f(2), par exemple ]1.6 ; 2.8[, montrer ensuite que l'image par f de tout intervalle ouvert comprenant 2 n'est pas incluse dans cet intervalle.
On cherchera les abscisses des points communs de f Ç d, qui
sont racines de la fonction f(x)=1-exp(-x )+sin(x).
Même question avec f(x)=2-x+exp(-x)+sin(x) et la même droite.
Affichez le graphe défini par f(x) et devinez celui qui est défini par af(x), f(bx), f(x+c), f(x)+d, af(bx+c)+d, |f(x)|, 1/f(x), f(1/x), f²(x), rac2(f(x)), rac3(f(x)), racn(f(x)p), E(f(x)), f(f(x)), f(f(f(x))),
Il suffira de cliquer sur le bouton correspondant pour vérifier.
De plus lévolution des graphes de f(x), f(f(x)), f(f(f(x))),
peut suggérer
la méthode du point fixe.
Exemples :
Représenter f²(x), 1/f(x), Ö (f(x)), rac3(f(x)), |f(x)|,
Comparer racine carrée de f(x) et racine quatrième de f²(x) et conclure.
Comparer racine cubique de f(x) et racine sixième de f²(x) et conclure.
a) f(x)=x²-1
b) f(x)=x³+2x
Afficher f(x) et f(1/x).
Quelle conclusion pour le calcul de e?
a) f(x)=cos(x)
b) f(x)=E(x)
c) f(x)=x+1/x
Quelles conjectures ?
Sommairec. Fonctions déduites de f(x) et g(x)
Affichez le graphe défini par f(x) et g(x) et devinez celui qui est défini par f(x)+g(x), f(x)-g(x), af(x)+bg(x), f(x)*g(x), f(x)/g(x), g(f(x)), f(g(x)).
Il suffira de cliquer sur le bouton correspondant pour vérifier.
Exemples :
a) f(x)=Ö x² et g(x)=x
b) f(x)= Ö x² et g(x)=|x|
c) f(x)= Ö x² etg(x)=(Ö x)²
d) f(x)=sin(p -x) et g(x)=sin(x)
e) f(x)=sin(p -x) et g(x)=sin(180-x)
f) f(x)=(x²-1) / (x-1) et g(x)=x+1
g) f(x)=arcsin(sin(x)) et g(x)=sin(arcsin(x))
h) f(x)=exp(ln(x)) et g(x)=ln(exp(x))
i) f(x)=arctan(tan(x)) et g(x)=tan(arctan(x))
j) f(x)=10log(x) et g(x)=log(10x)
a) f(x)=x², g(x)= Ö x
b) f(x)=arcsin(x), g(x)=sin(x)
c) f(x)=exp(x), g(x)=ln(x)
d. Limites d'une fonction en linfini et en un point.
Afficher le graphe de f(x). Pour trouver la limite de f(x) quand x tend vers + ou linfini, ou quand x tend vers a à gauche ou à droite, ou la limite de (f(x)-f(a)) / (x-a) quand x tend vers a à gauche ou à droite, il suffira de cliquer sur le bouton correspondant et de sinspirer des valeurs numériques obtenues.
On déterminera ainsi les asymptotes verticales et horizontales, et grâce aux boutons f(x)/x et f(x)-ax les asymptotes obliques, et on les représentera graphiquement. On déterminera enfin des nombres dérivés à gauche et à droite.
Exemples :
a) f(x)= (x²-2x+3) / (x²-5x+6)
b) f(x)= Ö (x²+3x+2)
c) f(x)=x+Ö (x²+1)
d) f(x)=5x+3Ö (x²+x+1)
e) f(x)= Ö (x²+2x)- Ö (x²+x)
f) f(x)=(x+2) exp(1/x)
On pourra afficher jusquà 9 fonctions, dans lordre de son choix, pour visualiser les liens éventuels entre celles-ci.
Exemples :
Représenter sur un même graphique les fonctions suivantes :
On supposera ici les fonctions continues sur [a,b] ou dérivables sur un intervalle comprenant x0.
En essayant les méthodes de dichotomie, des cordes, des sécantes et de Newton, on comparera les performances de chacune et on découvrira les pièges à éviter.
On choisira également le test darrêt approprié ainsi que la précision souhaitée et le nombre maximum ditéra-tions à effectuer.
Exemples :
1) Trouver les trois racines de la fonction f(x)=10.1 e-3*x-0.1/(x2+0.01).
2) Trouver les quatre racines de f(x) = x5-110 x4+4835 x3-106150 x2+1164024 x-5100480
3) Par une méthode appropriée, rechercher les racines de :
a) f(x)=x³-2x+2
b) f(x)=x³-2x+1
c) f(x) =x6-6x5+15x4-20x3+15x2-6x+1
d) f(x)=(-x²+1)/(x²+1)
e) f(x)=x4-2x2
f) f(x)=x4-3x+1
g) f(x)=3 5-5x3
h) f(x)=3x³-13.95x²+6.45x+23.4
i) f(x)=sin(x)+cos(2 x)
j) f(x)=2-x-exp(-x)
k) f(x)=x-exp(-x/2)
l) f(x)=x-1-0.5sin(x)
m) f(x)=sh(x)+sin(x)-2x-1
n) f(x)=x²-10tan(x)
o) f(x)=sgn(x)Ö |x|
p) f(x)=exp(x)-ln(x)
On supposera la fonction continue dans un intervalle comprenant une valeur proche de la
racine de g(x)=x.
En affichant le graphe de g(x)-x on vérifiera que la racine est bien labscisse du
point dintersection de g(x) avec la droite y=x.
Quels sont tous les réels x0 qui permettent de trouver une racine ?
Lexploration de g(g(x)), g(g(g(x))), etc. apportera la réponse.
Ces réels sont origines dune orbite qui ne tend pas à joindre linfini et il
sera possible de le visualiser à lécran dans le programme ensembles fractals.
Exemples :
a) 1/(3-x³)=x
b) 1/(1+x)=x
c) 2-exp(-x)=x
d) cos(x)=x
e) exp(-x²)-0.01=x
f) arctan(x)+p =x
g) arctan(x²/10)+p =x
h) Ö (10tan(x))=x
Soit donc g(x)=x-f(x) / f'(x) et g(x)=x.
Par exemple si f(x)=x-exp(x/2), pour résoudre f(x)=0 on peut écrire : x=exp(-x/2),
mais la convergence la plus rapide sera obtenue en faisant x=(x+2)/(1+2 exp(x/2)).
Vérifier.
soit x=x³+3x-2 (divergence)
soit x=1-x³/2 (convergence très lente)
soit x=2 / (x²+2) (convergence rapide)
soit x= (2x³+2) / (3x²+2) (convergence la plus rapide ( x=x-f(x) / f'(x) )
a) f(x)=x²-2 ( résoudre (x+2/x)/2 = x )
b) f(x)=1/x-3 ( résoudre x(2-3x) = x )
c) f(x)=x-arcsin(0.5) ( résoudre x-(sin(x)-0.5)/cos(x) = x )
d) (x)=x-ln(2) ou encore f(x)=exp(x)-2 ( résoudre x-(exp(x)-2)/exp(x) = x )
e) f(x)=|x³-1|-x
f) f(x)=-xsin(x+1)+1