Fiche n°38 : Analyse combinatoire.
(Utilisation de Troisième niveau (2)/Analyse combinatoire)
Laffichage des listes peut aider les élèves à mieux distinguer arrangements, combinaisons, permutations simples et avec répétitions.
Exercice au local :
Illustrons par un exemple chacun des quatre programmes proposés.
On a relevé les notes dexamen de 28 élèves et obtenu le tableau brut suivant :
16 |
7 |
9 |
11 |
14 |
12 |
20 |
15 |
5 |
2 |
15 |
8 |
3 |
13 |
12 |
14 |
19 |
7 |
13 |
14 |
10 |
15 |
17 |
14 |
13 |
16 |
10 |
5 |
Après avoir encodé le tableau brut, on affichera le tableau ordonné, puis recensé. On présentera ensuite les diagrammes en bâtons des effectifs, le polygone des effectifs cumulés, (ou fréquences en pour cent ou pour un) et le tableau des paramètres de position et de dispersion.
Les graphiques et résultats visualisés sur un même écran aideront les élèves à une meilleure compréhension de ceux-ci.
Il sera toujours instructif de modifier telle ou telle donnée pour en tester limpact sur les graphiques et résultats.
Le tableau des calculs permettra à lélève de vérifier les siens et surtout au professeur de créer tout exercice utile à son cours ou toute question dexamen pertinente.
En enregistrant graphiques et résultats dans des fichiers séparés, on aura une excellente occasion de les insérer ensuite dans un traitement de texte pour apprendre à les rassembler en un seul document et à les présenter en exploitant toutes les ressources du traitement de texte.
Si on désire traiter les données en les regroupant par classes, il suffit denregistrer le tableau brut dextension sdb, (soit exa..sdb), et de le récupérer ensuite dans Troisième niveau (2)/Statistique/Statistique à caractère groupé.
Chargeons par exemple le fichier exa.sdb (Pour cela on devra changer le type de fichier *.sgb en *.sdb). On déterminera ensuite les classes et on affichera graphiques et résultats.
A partir dun tableau brut, il sera toujours possible de choisir les classes qui conduiront à lhistogramme le plus significatif.
Exercices au local :
181 | 175 | 177 | 181 | 160.5 | 167 | 168.5 | 164.5 | 169 | 159 |
174.5 | 172 | 178.5 | 171 | 173 | 169 | 177 | 165.5 | 178.5 | 172 |
169 | 180 | 174 | 161.5 | 168.5 | 184 | 168.5 | 177 | 171.5 | 173.5 |
170.5 | 176 | 173 | 175 | 162 | 177.5 | 172 | 171.5 | 166.5 | 180 |
178 | 180 | 160.5 | 174.5 | 168.5 | 165.5 | 182 | 168 | 176 | 173 |
169.5 | 178.5 | 174.5 | 170 | 171.5 | 178 | 169 | 178.5 | 163.5 | 178 |
173 | 169 | 178.5 | 173 | 181 | 171 | 174 | 175 | 173.5 | 185.5 |
168. | 176 | 167.5 | 176 | 166 | 171.5 | 169 | 178.5 | 171.5 | 173.5 |
181 | 170 | 171 | 174.5 | 178 | 178.5 |
Former les tableaux, ordonné, recensé, ( 9 classes ), des paramètres et représenter les diagrammes.
On a relevé l'âge et la taille de 86 jeunes de 14 à 18 ans, pour découvrir une éventuelle corrélation entre les deux caractères et formé le tableau suivant :
xi\yj | 160.5 | 163.5 | 166.5 | 169.5 | 172.5 | 175.5 | 178.5 | 181 | 184.5 |
14 | 3 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
15 | 1 | 2 | 4 | 3 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 |
16 | 0 | 1 | 1 | 10 | 8 | 1 | 1 | 0 | 0 |
17 | 0 | 0 | 0 | 2 | 8 | 6 | 5 | 0 | 0 |
18 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 5 | 7 | 4 | 1 |
.19 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 2 | 4 | 1 |
Trouver les droites de régression et faire le diagramme.
Six résultats d'une expérience de laboratoire sont consignés dans le tableau :
xi |
0.8 |
1.4 |
2.6 |
3.2 |
4.8 |
6.2 |
yi |
3.5 |
3.6 |
4.4 |
4.7 |
5.3 |
6 |
Peut-on raisonnablement penser que les six points obtenus sont alignés ?
Sommaire(Utilisation de Troisième niveau (2)/Statistique/Statistique à caractère discret)
En probabilité tout particulièrement, lordinateur montre sa puissance car il est capable de simuler une expérience aléatoire. Le traitement des résultats de la simulation permet une estimation de la probabilité dun événement avant même de la calculer par des considérations théoriques.
Soit par exemple le problème : Quelle est la probabilité davoir 4 fois Face en lançant 8 pièces de monnaie ?
On songera naturellement à réaliser un grand nombre de fois un tel lancer, 1000 fois par exemple. Si on a obtenu 280 fois 4 Faces on estimera la probabilité demandée pour un lancer à 280/1000.
Pour faciliter la comparaison des résultats empiriques et des résultats théoriques, on choisit 256 lancers. On simule donc 256 lancers de 8 pièces, en notant chaque fois le nombre xi d'apparitions de 'Faces'.
Le tableau recensé pourrait se présenter comme suit :
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
pi |
1 |
6 |
31 |
48 |
78 |
59 |
28 |
4 |
1 |
Il indique en particulier quau cours des 256 lancers des 8 pièces on a observé 78 fois 4 faces.
La probabilité dobtenir 4 faces au cours dun lancer est donc raisonnablement de lordre de 78/256.
Un calcul théorique conduit à la loi binomiale : la probabilité davoir k fois Face au cours des 8 lancers est donnée par :
avec ici a=0.5 et n=8
On obtient ainsi le tableau :
k |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
p(X=k) |
1/256 |
8/256 |
28/256 |
56/256 |
70/256 |
56/256 |
28/256 |
8/256 |
1/256 |
Le résultat obtenu par simulation 78/256 est bien de lordre du résultat théorique 70/256.
Pour sen convaincre, on représente le diagramme en bâtons des effectifs de la simulation, et on lui superpose la loi binomiale où les sommets des bâtons ont été reliés par des segments pour comparer plus aisément les deux graphiques. On démontre que la moyenne théorique m est na=8*1/2=4 et que lécart type théorique s vaut Ö (na(1-a))=Ö (8*1/2*(1-1/2))=Ö 2.
Lorsque le nombre de lancers est assez grand, on sait que la loi binomiale
et la loi normale | ![]() |
avec m=4 et s =Ö 2, sont assez voisines.
Superposons donc ces deux lois pour sen convaincre.
Estimons enfin la qualité de cette approximation en montrant par exemple que :
En effet
Dans Statistiques/Statistique à caractère continu, créons le tableau recensé :
[-0.5 ; 0.5[ | 1 |
[0.5 ; 1.5[ | 8 |
[1.5 ; 2.5[ | 28 |
[2.5 ; 3.5[ | 56 |
[3.5 ; 4.5[ | 70 |
[4.5 ; 5.5[ | 56 |
[5.5 ; 6.5[ | 28 |
[6.5 ; 7.5[ | 8 |
[7.5 ; 8.5] | 1 |
Les classes ont été choisies de manière à conserver la moyenne m= 4 et lécart type s =Ö 2.
Affichons ensuite lhistogramme des fréquences en Pour un et superposons-lui la loi normale.
On observe que la somme des aires des 4 rectangles dont les centres de bases sont 2, 3, 4 et 5 est effectivement voisine de laire limitée par le graphe de f, les droites x=1.5 et x=5.5 et laxe Ox.
et dans Troisième niveau (1)/Intégrales définies/Interprétation graphique par exemple, on trouve par calcul :
Jean-Pierre Gosselin
Rue du Haut Pré, 26
B 5100 Jambes
Belgique.Tél. +32 (0)81 30 42 53
Compte 001-0200238-09
E-mail: jp.gosselin@worldonline.be
Internet: http://home.tiscali.be/menumath